La secuencia numérica es aritmética y geométrica. Progresiones aritméticas y geométricas.

SECUENCIAS NUMERICAS

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Si para cada numero natural norte número coincidente Xnorte, entonces dicen que se da secuencia numérica X 1, X 2, …, Xnorte, ….

Notación de secuencia numérica {X norte } .

Al mismo tiempo, los números X 1, X 2, …, Xnorte, ... son llamados miembros de la secuencia .

Métodos básicos para especificar secuencias numéricas.

1. Una de las formas más convenientes es establecer una secuencia. la fórmula de su término común : Xnorte = F(norte), norte Î norte.

Por ejemplo, Xnorte = norte 2 + 2norte+ 3Þ X 1 = 6, X 2 = 11, X 3 = 18, X 4 = 27, …

2. Transferencia directa número finito de primeros miembros.

Por ejemplo, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Relación de recurrencia , es decir, una fórmula que expresa el término n a través del uno o más términos anteriores.

Por ejemplo, cerca de Fibonacci llamada secuencia de numeros

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…, que se determina de forma recurrente:

X 1 = 1, X 2 = 1, Xnorte+1 = xn + xn–1 (norte = 2, 3, 4, …).

Operaciones aritméticas sobre secuencias.

1. La suma (diferencia) secuencias ( Anorte) Y ( mn cn } = { un ± mn}.

2. La obra secuencias ( Anorte) Y ( mn) se llama secuencia ( cn } = { un× mn}.

3. Privado secuencias ( Anorte) Y ( mn }, mn¹ 0, llamada secuencia ( cn } = { un×/ mn}.

Propiedades de las secuencias numéricas

1. Secuencia ( Xnorte) se llama acotado superiormente METRO norte la desigualdad es cierta Xnorte £ METRO.

2. Secuencia ( Xnorte) se llama delimitado por debajo, si tal número real existe metro, que para todos los valores naturales norte la desigualdad es cierta Xnorte ³ metro.

3. Secuencia ( Xnorte) se llama creciente norte la desigualdad es cierta Xnorte < Xnorte+1.

4. Secuencia ( Xnorte) se llama decreciente, si por todos los valores naturales norte la desigualdad es cierta Xnorte > Xnorte+1.

5. Secuencia ( Xnorte) se llama no creciente, si por todos los valores naturales norte la desigualdad es cierta Xnorte ³ Xnorte+1.

6. Secuencia ( Xnorte) se llama no decreciente, si por todos los valores naturales norte la desigualdad es cierta Xnorte £ Xnorte+1.

Las secuencias crecientes, decrecientes, no crecientes, no decrecientes se llaman monótono secuencias, con aumento y disminución - estrictamente monótono.

Técnicas básicas utilizadas al examinar una secuencia en busca de monotonicidad.

1. Usando la definición.

a) Para la secuencia en estudio ( Xnorte) se hace la diferencia

Xnorte – Xnorte+1, y luego descubrimos si esta diferencia conserva un signo constante para cualquier norte Î norte y, de ser así, cuál exactamente. Dependiendo de esto, se llega a una conclusión sobre la monotonicidad (no monotonicidad) de la secuencia.

b) Para secuencias de signo constante ( Xnorte) uno puede formar una relación Xnorte+1/Xnorte y compararlo con uno.

Si esta actitud está delante de todos. norte es mayor que uno, entonces para una secuencia estrictamente positiva se llega a la conclusión de que es creciente y, para una secuencia estrictamente negativa, en consecuencia, es decreciente.

Si esta actitud está delante de todos. norte no es menor que uno, entonces para una secuencia estrictamente positiva se llega a la conclusión de que no es decreciente y, en consecuencia, para una secuencia estrictamente negativa, no es creciente.

Si esta es la relación en algunos números norte mayor que uno, y para otros números norte menos de uno, esto indica la naturaleza no monótona de la secuencia.

2. Vaya a la función de argumento real.

Sea necesario examinar una secuencia numérica para determinar si es monotonicidad.

Anorte = F(norte), norte Î norte.

Introduzcamos la función de argumento real. X:

F(X) = A(X), X³ 1,

y examínelo en busca de monotonía.

Si la función es derivable en el intervalo considerado, entonces encontramos su derivada y examinamos el signo.

Si la derivada es positiva, entonces la función aumenta.

Si la derivada es negativa, entonces la función disminuye.

Volviendo a los valores naturales del argumento, extendemos estos resultados a la secuencia original.

Número A llamado límite de la secuencia Xnorte, si para cualquier número positivo arbitrariamente pequeño e existe tal número natural norte, que es para todos los números norte > norte desigualdad satisfecha | xn – a | < e.

Calculando la cantidad norte primeros términos de la secuencia

1. Presentación del término general de la secuencia en forma de diferencia de dos o más expresiones de tal forma que, tras la sustitución, se reducen la mayoría de los términos intermedios y la suma se simplifica significativamente.

2. Para comprobar y probar fórmulas existentes para encontrar las sumas de los primeros términos de secuencias, se puede utilizar el método de inducción matemática.

3. Algunos problemas con secuencias se pueden reducir a problemas que involucran progresiones aritméticas o geométricas.

Progresiones aritméticas y geométricas.

Progresión aritmética

Progresión geométrica

Definición

Xnorte }, norteÎ norte, se llama progresión aritmética si cada uno de sus términos, a partir del segundo, es igual al anterior, sumado a la misma constante numérica para una secuencia dada d, es decir.

Anorte+1 = un + d,

Dónde d– diferencia de progresión,

Anorte– miembro común ( norte miembro)

Definición

Secuencia numérica ( Xnorte }, norteÎ norte, se llama progresión geométrica si cada uno de sus términos, a partir del segundo, es igual al anterior, multiplicado por la misma constante numérica para una secuencia dada q, es decir.

mn+1 = mn × q, b 1¹0, q ¹ 0,

Dónde q– denominador de progresión,

mn– miembro común ( norte miembro)

Monótono

Si d> 0, entonces la progresión es creciente.

Si d < 0, то прогрессия убывающая.

Monótono

Si b 1 > 0, q> 1 o b 1 < 0, 0 < q < 1, то прогрессия возрастающая.

Si b 1 < 0, q> 1 o b 1 > 0, 0 < q < 1, то прогрессия убывающая.

Si q < 0, то прогрессия немонотонная

Fórmula de término común

Anorte = a 1 + d×( norte – 1)

Si 1 £ k £ norte– 1, entonces Anorte = Alaska + d×( norte – k)

Fórmula de término común

mn = b 1× qn – 1

Si 1 £ k £ norte– 1, entonces mn = bk × qn –k

Propiedad característica

Si 1 £ k £ norte– 1, entonces

Propiedad característica

Si 1 £ k £ norte– 1, entonces

Propiedad

un + soy = Alaska + Alabama, Si norte + metro = k + yo

Propiedad

mn × bm = bk × licenciado en Derecho, Si norte + metro = k + yo

suma del primero norte miembros

sn = a 1 + a 2 + … +un

Suma

sn = b 1 + b 2 + … + mn

Si q Número 1, entonces.

Si q= 1, entonces sn = b 1× norte.

Si | q| < 1 и norte® ¥, entonces

Operaciones sobre progresiones

1. Si ( Anorte) Y ( mn) progresiones aritméticas, entonces la secuencia

{ un ± mn) también es una progresión aritmética.

2. Si todos los términos de una progresión aritmética ( Anorte) multiplicar por el mismo número real k, entonces la secuencia resultante también será una progresión aritmética, cuya diferencia cambiará en consecuencia en k una vez

Operaciones sobre progresiones

Si ( Anorte) Y ( mn) progresiones geométricas con denominadores q 1 y q 2 en consecuencia, entonces la secuencia:

1) {un× mn q 1× q 2;

2) {un/mn) también es una progresión geométrica con el denominador q 1/q 2;

3) {|un|) es también una progresión geométrica con el denominador | q 1|

Métodos básicos para resolver problemas de progresión.

1. Uno de los métodos de solución más comunes. problemas de progresiones aritméticas es que todos los términos de la progresión involucrados en la condición del problema se expresan a través de la diferencia de la progresión d a d Y A 1.

2. Generalizado y considerado un método de solución estándar. problemas de progresión geométrica , cuando todos los miembros de la progresión geométrica que aparecen en el planteamiento del problema se expresan mediante el denominador de la progresión q y cualquiera de sus miembros, generalmente el primero. b 1. En función de las condiciones del problema, se compila y resuelve un sistema con incógnitas. q Y b 1.

Ejemplos de resolución de problemas

Problema 1 .

secuencia dada Xnorte = 4norte(norte 2 + 1) – (6norte 2+1). Encuentra la cantidad sn primero norte miembros de esta secuencia.

Solución. Transformemos la expresión del miembro general de la secuencia:

Xnorte = 4norte(norte 2 + 1) – (6norte 2 + 1) = 4norte 3 + 4norte – 6norte 2 – 1 = norte 4 – norte 4 + 4norte 3 – 6norte 2 + 4norte – 1 =

= norte 4 – (norte 4 – 4norte 3 + 6norte 2 – 4norte+ 1) = norte 4 – (norte – 1)4.

sn = X 1 + X 2 + X 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (norte 4 – (norte – 1)4) = norte 4.

Problema 2 .

secuencia dada Anorte = 3norte+ 2..gif" ancho="429" alto="45">.

De aquí, A(3norte + 5) +B(3norte + 2) = 1,

(3A + 3B)norte + (5A + 2B) = 1.

norte.

norte 1 | 3A + 3B = 0,

n0 | 5 A + 2B = 1.

A = 1/3, EN = –1/3.

Así, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " ancho="39" alto="41 src="> Anorte. ¿Es el número 1980 miembro de esta secuencia? En caso afirmativo, determine su número.

Solución. Escribamos los primeros. norte miembros de esta secuencia:

A 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" ancho="63" alto="41">.gif" ancho="108" alto="41"> .gif" ancho="93" alto="41">.

Multipliquemos estas igualdades:

A 1A 2A 3A 4A 5…un-2un-1un = A 1A 2A 3A 4A 5…un-2un-1.

De aquí, un = norte(norte + 1).

Entonces, 1980 = norte(norte+ 1) Û norte 2 + norte– 1980 = 0 Û norte = –45 < 0, norte= 44 О norte.

Respuesta: Sí, norte = 44.

Problema 4 .

Encuentra la cantidad S = A 1 + A 2 + A 3 + … + Anorte números A 1, A 2, A 3, …,Anorte, que para cualquier natural norte satisfacer la igualdad sn = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + … + norteAnorte = .

Solución. S 1 = a 1 = 2/3.

Para norte > 1, yaya = sn – sn–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

De aquí, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" ancho="244" alto="44">,

A(norte + 1)(norte + 2) + mil millones(norte + 2) + cn(norte + 1) = 1

(A + B + C)norte 2 + (3A + 2B + C)norte + 2A = 1,

Igualemos los coeficientes en las potencias correspondientes. norte.

norte 2 | A + B + C= 0,

norte 1 | 3A + 2B+ C = 0,

n0 | 2 A = 1.

Resolviendo el sistema resultante, obtenemos A = 1/2, EN= –1, C = 1/2.

Entonces, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

Dónde , , norte > 1,

S¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

S¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

S = A 1 + A 2 + A 3 + … + Anorte = A 1 +=

=A 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

Problema 5 .

Encuentra el término más grande de la secuencia. .

Solución. Pongamos mn = –norte 2 + 8norte – 7 = 9 – (norte – 4)2, .

Concepto de secuencia numérica

Definición 2

La aplicación de una serie natural de números a un conjunto de números reales se denominará secuencia numérica: $f:N→R$

La secuencia numérica se indica de la siguiente manera:

$(p_k)=(p_1,p_2,…,p_k,…)$

donde $p_1,p_2,…,p_k,…$ son números reales.

Hay tres formas diferentes de especificar secuencias numéricas. Describámoslos.

Analítico.

En este método, la secuencia se especifica en forma de fórmula, con la que puede encontrar cualquier miembro de esta secuencia sustituyéndole números naturales en lugar de una variable.

Recurrente.

Este método para especificar una secuencia es el siguiente: se proporciona el primer (o los primeros) miembros de la secuencia y luego una fórmula que conecta cualquier miembro de la misma con el miembro o miembros anteriores.

Verbal.

Con este método, la secuencia numérica se describe simplemente sin introducir ninguna fórmula.

Dos casos especiales de secuencias numéricas son las progresiones aritméticas y geométricas.

Progresión aritmética

Definición 3

Progresión aritmética es una secuencia que se describe verbalmente de la siguiente manera: Se da el primer número. Cada uno posterior se define como la suma del anterior con un número específico predeterminado $d$.

En esta definición, un número predeterminado se denominará diferencia de una progresión aritmética.

$p_1,p_(k+1)=p_k+d.$

Nota 1

Tenga en cuenta que un caso especial de progresión aritmética es una progresión constante, en la que la diferencia de la progresión es igual a cero.

Para indicar una progresión aritmética, se muestra al principio el siguiente símbolo:

$p_k=p_1+(k-1)d$

$S_k=\frac((p_1+p_k)k)(2)$ o $S_k=\frac((2p_1+(k-1)d)k)(2) $

Una progresión aritmética tiene la llamada propiedad característica, que está determinada por la fórmula:

$p_k=\frac(p_(k-1)+p_(k+1))(2)$

Progresión geométrica

Definición 4

Progresión geométrica es una secuencia que se describe verbalmente de la siguiente manera: Se da el primer número que no es igual a cero. Cada uno posterior se define como el producto del anterior con un número específico predeterminado distinto de cero $q$.

En esta definición, un número predeterminado se denominará denominador de una progresión geométrica.

Obviamente, escribimos esta secuencia de forma recursiva de la siguiente manera:

$p_1≠0,p_(k+1)=p_k q,q≠0$.

Nota 2

Tenga en cuenta que un caso especial de progresión geométrica es una progresión constante, en la que el denominador de la progresión es igual a uno.

Para indicar una progresión aritmética, se muestra al principio el siguiente símbolo:

A partir de la relación de recurrencia para una secuencia dada, se deriva fácilmente una fórmula para encontrar cualquier término a través del primero:

$p_k=p_1 q^((k-1))$

La suma de $k$ de los primeros términos se puede encontrar usando la fórmula

$S_k=\frac(p_k q-p_1)(q-1)$ o $S_k=\frac(p_1 (q^k-1))(q-1)$

Es geométrico.

Obviamente, el denominador de esta progresión geométrica es igual a

$q=\frac(9)(3)=3$

Luego, usando la segunda fórmula para la suma de una progresión aritmética, obtenemos:

$S_5=\frac(3\cdot (3^5-1))(3-1)=363$

Algunas personas tratan la palabra "progresión" con cautela, como un término muy complejo de las ramas de las matemáticas superiores. Mientras tanto, la progresión aritmética más simple es el trabajo del taxímetro (donde todavía existen). Y comprender la esencia (y en matemáticas no hay nada más importante que “comprender la esencia”) de una secuencia aritmética no es tan difícil, habiendo analizado algunos conceptos elementales.

Secuencia numérica matemática

Una secuencia numérica generalmente se denomina serie de números, cada uno de los cuales tiene su propio número.

un 1 es el primer miembro de la secuencia;

y 2 es el segundo término de la secuencia;

y 7 es el séptimo miembro de la secuencia;

yn es el enésimo miembro de la secuencia;

Sin embargo, no nos interesa ningún conjunto arbitrario de números y cifras. Centraremos nuestra atención en una secuencia numérica en la que el valor del enésimo término está relacionado con su número ordinal mediante una relación que puede formularse claramente matemáticamente. En otras palabras: el valor numérico del enésimo número es alguna función de n.

a es el valor de un miembro de una secuencia numérica;

n es su número de serie;

f(n) es una función, donde el número ordinal de la secuencia numérica n es el argumento.

Definición

Una progresión aritmética suele denominarse secuencia numérica en la que cada término posterior es mayor (menor) que el anterior en el mismo número. La fórmula para el enésimo término de una secuencia aritmética es la siguiente:

a n - el valor del miembro actual de la progresión aritmética;

a n+1 - fórmula del siguiente número;

d - diferencia (cierto número).

Es fácil determinar que si la diferencia es positiva (d>0), entonces cada miembro subsiguiente de la serie considerada será mayor que el anterior y dicha progresión aritmética será creciente.

En el siguiente gráfico es fácil ver por qué la secuencia numérica se llama "creciente".

En los casos en que la diferencia sea negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Valor de miembro especificado

A veces es necesario determinar el valor de cualquier término arbitrario an de una progresión aritmética. Esto se puede hacer calculando secuencialmente los valores de todos los miembros de la progresión aritmética, comenzando desde el primero hasta el deseado. Sin embargo, este camino no siempre es aceptable si, por ejemplo, es necesario encontrar el valor del término cinco mil u ocho millones. Los cálculos tradicionales llevarán mucho tiempo. Sin embargo, se puede estudiar una progresión aritmética específica utilizando determinadas fórmulas. También existe una fórmula para el enésimo término: el valor de cualquier término de una progresión aritmética se puede determinar como la suma del primer término de la progresión con la diferencia de la progresión, multiplicada por el número del término deseado, reducida por uno.

La fórmula es universal para la progresión creciente y decreciente.

Un ejemplo de cálculo del valor de un término determinado.

Resolvamos el siguiente problema de encontrar el valor del enésimo término de una progresión aritmética.

Condición: existe una progresión aritmética con parámetros:

El primer término de la secuencia es 3;

La diferencia en la serie numérica es 1,2.

Tarea: necesitas encontrar el valor de 214 términos.

Solución: para determinar el valor de un término determinado utilizamos la fórmula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Sustituyendo los datos del enunciado del problema en la expresión, tenemos:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Respuesta: El término 214 de la secuencia es igual a 258,6.

Las ventajas de este método de cálculo son obvias: la solución completa no ocupa más de 2 líneas.

Suma de un número determinado de términos

Muy a menudo, en una determinada serie aritmética, es necesario determinar la suma de los valores de algunos de sus segmentos. Para ello, tampoco es necesario calcular los valores de cada término y luego sumarlos. Este método es aplicable si el número de términos cuya suma debe calcularse es pequeño. En otros casos, es más conveniente utilizar la siguiente fórmula.

La suma de los términos de una progresión aritmética de 1 a n es igual a la suma del primer y enésimo término, multiplicada por el número del término n y dividida por dos. Si en la fórmula se reemplaza el valor del enésimo término por la expresión del párrafo anterior del artículo, obtenemos:

Ejemplo de cálculo

Por ejemplo, resolvamos un problema con las siguientes condiciones:

El primer término de la secuencia es cero;

La diferencia es 0,5.

El problema requiere determinar la suma de los términos de la serie del 56 al 101.

Solución. Usemos la fórmula para determinar la cantidad de progresión:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Primero, determinamos la suma de los valores de 101 términos de la progresión sustituyendo las condiciones dadas de nuestro problema en la fórmula:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Evidentemente, para saber la suma de los términos de la progresión del 56 al 101, es necesario restar S 55 de S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Así, la suma de la progresión aritmética para este ejemplo es:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Ejemplo de aplicación práctica de la progresión aritmética.

Al final del artículo, volvamos al ejemplo de una secuencia aritmética dado en el primer párrafo: un taxímetro (medidor de taxi). Consideremos este ejemplo.

Subir a un taxi (que incluye 3 km de recorrido) cuesta 50 rublos. Cada kilómetro posterior se paga a razón de 22 rublos/km. La distancia recorrida es de 30 km. Calcula el coste del viaje.

1. Descartemos los primeros 3 km, cuyo precio está incluido en el coste del aterrizaje.

30 - 3 = 27 kilómetros.

2. El cálculo adicional no es más que analizar una serie de números aritméticos.

Número de miembro: el número de kilómetros recorridos (menos los tres primeros).

El valor del miembro es la suma.

El primer término de este problema será igual a 1 = 50 rublos.

Diferencia de progresión d = 22 r.

el número que nos interesa es el valor del término (27+1) de la progresión aritmética: la lectura del medidor al final del kilómetro 27 es 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Los cálculos de los datos del calendario para un período arbitrariamente largo se basan en fórmulas que describen determinadas secuencias numéricas. En astronomía, la longitud de la órbita depende geométricamente de la distancia del cuerpo celeste a la estrella. Además, varias series numéricas se utilizan con éxito en estadística y otras áreas aplicadas de las matemáticas.

Otro tipo de secuencia numérica es geométrica.

La progresión geométrica se caracteriza por mayores tasas de cambio en comparación con la progresión aritmética. No es casualidad que en política, sociología y medicina, para mostrar la alta velocidad de propagación de un fenómeno particular, por ejemplo, una enfermedad durante una epidemia, digan que el proceso se desarrolla en progresión geométrica.

El enésimo término de la serie de números geométricos se diferencia del anterior en que se multiplica por algún número constante: el denominador, por ejemplo, el primer término es 1, el denominador es correspondientemente igual a 2, luego:

norte=1: 1 ∙ 2 = 2

norte=2: 2 ∙ 2 = 4

norte=3: 4 ∙ 2 = 8

norte=4: 8 ∙ 2 = 16

norte=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - el valor del término actual de la progresión geométrica;

b n+1 - fórmula del siguiente término de la progresión geométrica;

q es el denominador de la progresión geométrica (un número constante).

Si la gráfica de una progresión aritmética es una línea recta, entonces una progresión geométrica presenta una imagen ligeramente diferente:

Como en el caso de la aritmética, la progresión geométrica tiene una fórmula para el valor de un término arbitrario. Cualquier enésimo término de una progresión geométrica es igual al producto del primer término por el denominador de la progresión a la potencia de n reducido en uno:

Ejemplo. Tenemos una progresión geométrica con el primer término igual a 3 y el denominador de la progresión igual a 1,5. Encontremos el quinto término de la progresión.

segundo 5 = segundo 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

La suma de un número determinado de términos también se calcula mediante una fórmula especial. La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica es igual a la diferencia entre el producto del enésimo término de la progresión por su denominador y el primer término de la progresión, dividido por el denominador reducido en uno:

Si se reemplaza b n usando la fórmula discutida anteriormente, el valor de la suma de los primeros n términos de la serie numérica considerada tomará la forma:

Ejemplo. La progresión geométrica comienza con el primer término igual a 1. El denominador se establece en 3. Encontremos la suma de los primeros ocho términos.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Vida y= F(X), X ACERCA DE norte, Dónde norte– un conjunto de números naturales (o una función de un argumento natural), denotado y=F(norte) o y 1 ,y 2 ,…, y norte,…. Valores y 1 ,y 2 ,y 3 ,… se llaman respectivamente el primer, segundo, tercer, ... miembros de la secuencia.

Por ejemplo, para la función y= norte 2 se puede escribir:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y norte = norte 2 ;…

Métodos para especificar secuencias. Las secuencias se pueden especificar de diversas formas, entre las que destacan tres: analítica, descriptiva y recurrente.

1. Una secuencia está dada analíticamente si se da su fórmula. norteº miembro:

y norte=F(norte).

Ejemplo. y norte= 2norte – 1 – secuencia de números impares: 1, 3, 5, 7, 9,…

2. Descriptivo La forma de especificar una secuencia numérica es explicar a partir de qué elementos se construye la secuencia.

Ejemplo 1. "Todos los términos de la secuencia son iguales a 1". Esto significa que estamos hablando de una secuencia estacionaria 1, 1, 1,…, 1,….

Ejemplo 2: "La secuencia consta de todos los números primos en orden ascendente". Por tanto, la secuencia dada es 2, 3, 5, 7, 11,…. Con este método de especificar la secuencia en este ejemplo, es difícil responder a qué es igual, digamos, el elemento número 1000 de la secuencia.

3. El método recurrente para especificar una secuencia es especificar una regla que le permita calcular norte-ésimo miembro de una secuencia si se conocen sus miembros anteriores. El nombre método recurrente proviene de la palabra latina recurrente- regresar. Muy a menudo, en tales casos, se indica una fórmula que permite expresar norte desde el ésimo miembro de la secuencia hasta los anteriores, y especifique 1 o 2 miembros iniciales de la secuencia.

Ejemplo 1. y 1 = 3; y norte = y norte–1 + 4 si norte = 2, 3, 4,….

Aquí y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Puedes ver que la secuencia obtenida en este ejemplo también se puede especificar analíticamente: y norte= 4norte – 1.

Ejemplo 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y norte = y norte –2 + y norte–1 si norte = 3, 4,….

Aquí: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

La secuencia de este ejemplo se estudia especialmente en matemáticas porque tiene varias propiedades y aplicaciones interesantes. Se llama secuencia de Fibonacci, en honor al matemático italiano del siglo XIII. Es muy fácil definir la secuencia de Fibonacci de forma recurrente, pero muy difícil analíticamente. norte El décimo número de Fibonacci se expresa a través de su número de serie mediante la siguiente fórmula.

A primera vista, la fórmula para norte El número de Fibonacci parece inverosímil, ya que la fórmula que especifica la secuencia de números naturales sólo contiene raíces cuadradas, pero puedes comprobar “manualmente” la validez de esta fórmula para los primeros norte.

Propiedades de las secuencias numéricas.

Una secuencia numérica es un caso especial de una función numérica, por lo que también se consideran una serie de propiedades de funciones para las secuencias.

Definición . Subsecuencia ( y norte} se llama creciente si cada uno de sus términos (excepto el primero) es mayor que el anterior:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definición.Secuencia ( y norte} se llama decreciente si cada uno de sus términos (excepto el primero) es menor que el anterior:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y norte> y norte +1 > … .

Las secuencias crecientes y decrecientes se combinan bajo el término común: secuencias monótonas.

Ejemplo 1. y 1 = 1; y norte= norte 2 – secuencia creciente.

Por tanto, el siguiente teorema es verdadero (una propiedad característica de una progresión aritmética). Una secuencia numérica es aritmética si y sólo si cada uno de sus miembros, excepto el primero (y el último en el caso de una secuencia finita), es igual a la media aritmética de los miembros anteriores y posteriores.

Ejemplo. ¿A qué valor? X numeros 3 X + 2, 5X– 4 y 11 X¿+ 12 forman una progresión aritmética finita?

Según la propiedad característica, las expresiones dadas deben satisfacer la relación

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Resolver esta ecuación da X= –5,5. A este valor X expresiones dadas 3 X + 2, 5X– 4 y 11 X+ 12 toman, respectivamente, los valores –14,5, –31,5, –48,5. Esta es una progresión aritmética, su diferencia es –17.

Progresión geométrica.

Una secuencia numérica, todos cuyos términos son distintos de cero y cada uno de cuyos términos, a partir del segundo, se obtiene del término anterior multiplicando por el mismo número. q, se llama progresión geométrica, y el número q- el denominador de una progresión geométrica.

Por tanto, una progresión geométrica es una secuencia numérica ( bn), definido recursivamente por las relaciones

b 1 = b, bn = bn –1 q (norte = 2, 3, 4…).

(b Y q – números dados, b ≠ 0, q ≠ 0).

Ejemplo 1. 2, 6, 18, 54, ... – progresión geométrica creciente b = 2, q = 3.

Ejemplo 2. 2, –2, 2, –2,… – progresión geométrica b= 2,q= –1.

Ejemplo 3. 8, 8, 8, 8,… – progresión geométrica b= 8, q= 1.

Una progresión geométrica es una secuencia creciente si b 1 > 0, q> 1, y decreciente si b 1 > 0, 0 q

Una de las propiedades obvias de una progresión geométrica es que si la secuencia es una progresión geométrica, entonces también lo es la secuencia de cuadrados, es decir

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, bn 2,... es una progresión geométrica cuyo primer término es igual a b 1 2 , y el denominador es q 2 .

Fórmula norte- el décimo término de la progresión geométrica tiene la forma

bn= b 1 qn– 1 .

Puedes obtener una fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica finita.

Sea dada una progresión geométrica finita

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, bn

dejar S n – la suma de sus miembros, es decir

sn= b 1 + b 2 + b 3 + … +bn.

Se acepta que q No 1. Para determinar sn Se utiliza una técnica artificial: se realizan algunas transformaciones geométricas de la expresión. S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + bn –1 + bn)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ bn+ bnq = sn+ bnq– b 1 .

De este modo, S n q= sn +bnq – b 1 y por lo tanto

Esta es la fórmula con umma n términos de progresión geométrica para el caso cuando q≠ 1.

En q= 1 no es necesario derivar la fórmula por separado; es obvio que en este caso sn= a 1 norte.

La progresión se llama geométrica porque cada término que contiene, excepto el primero, es igual a la media geométrica de los términos anterior y posterior. De hecho, desde

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

por eso, bn 2=bn– 1 mil millones+ 1 y el siguiente teorema es verdadero (una propiedad característica de una progresión geométrica):

una secuencia numérica es una progresión geométrica si y sólo si el cuadrado de cada uno de sus términos, excepto el primero (y el último en el caso de una secuencia finita), es igual al producto de los términos anterior y posterior.

Límite de consistencia.

Sea una secuencia ( c norte} = {1/norte}. Esta secuencia se llama armónica, ya que cada uno de sus términos, a partir del segundo, es la media armónica entre los términos anterior y posterior. media geométrica de los números a Y b hay un numero

De lo contrario, la secuencia se llama divergente.

Basándose en esta definición, se puede, por ejemplo, demostrar la existencia de un límite A=0 para la secuencia armónica ( c norte} = {1/norte). Sea ε un número positivo arbitrariamente pequeño. La diferencia se considera

¿Existe tal cosa? norte eso es para todos norte ≥ norte la desigualdad 1 se cumple /N? Si lo tomamos como norte cualquier número natural mayor que 1/ε , entonces para todos norte ≥ norte la desigualdad 1 se cumple /norte ≤ 1/norte ε , Q.E.D.

A veces puede resultar muy difícil demostrar la presencia de un límite para una secuencia particular. Las secuencias que ocurren con más frecuencia están bien estudiadas y figuran en libros de referencia. Existen teoremas importantes que permiten concluir que una secuencia determinada tiene un límite (e incluso calcularlo), basándose en secuencias ya estudiadas.

Teorema 1. Si una secuencia tiene un límite, entonces está acotada.

Teorema 2. Si una secuencia es monótona y acotada, entonces tiene un límite.

Teorema 3. Si la secuencia ( un} tiene un limite A, entonces las secuencias ( poder}, {un+c) y (| un|} tener limites California, A +C, |A| en consecuencia (aquí C- número arbitrario).

Teorema 4. Si las secuencias ( un} Y ( bn) tienen límites iguales a A Y B cacerola + qbn) tiene un límite Pensilvania+ qb.

Teorema 5. Si las secuencias ( un) Y ( bn)tiene límites iguales a A Y B en consecuencia, entonces la secuencia ( un n b n) tiene un límite AB.

Teorema 6. Si las secuencias ( un} Y ( bn) tienen límites iguales a A Y B en consecuencia y, además, segundo norte ≠ 0 y B≠ 0, entonces la secuencia ( a n / b n) tiene un límite A/B.

Anna Chugainova

Si para cada numero natural norte coincidir con un número real un , entonces dicen que se da secuencia numérica :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , un , . . . .

Entonces, la secuencia numérica es función del argumento natural.

Número a 1 llamado primer término de la secuencia , número a 2 — segundo término de la secuencia , número a 3 — tercero etcétera. Número un llamado enésimo miembro de la secuencia , y un número natural norte — su número .

De dos miembros adyacentes un Y un +1 miembro de secuencia un +1 llamado subsecuente (hacia un ), A un — anterior (hacia un +1 ).

Para definir una secuencia, debe especificar un método que le permita encontrar un miembro de la secuencia con cualquier número.

A menudo la secuencia se especifica usando fórmulas del enésimo término , es decir, una fórmula que le permite determinar un miembro de una secuencia por su número.

Por ejemplo,

una secuencia de números impares positivos puede estar dada por la fórmula

un= 2norte- 1,

y la secuencia de alternancia 1 Y -1 - fórmula

b norte = (-1)norte +1 . ◄

La secuencia se puede determinar fórmula recurrente, es decir, una fórmula que expresa cualquier miembro de la secuencia, comenzando por algunos, pasando por los miembros anteriores (uno o más).

Por ejemplo,

Si a 1 = 1 , A un +1 = un + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Si un 1= 1, un 2 = 1, un +2 = un + un +1 , luego los primeros siete términos de la secuencia numérica se establecen de la siguiente manera:

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Las secuencias pueden ser final Y sin fin .

La secuencia se llama último , si tiene un número finito de miembros. La secuencia se llama sin fin , si tiene infinitos miembros.

Por ejemplo,

secuencia de números naturales de dos cifras:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Secuencia de números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sin fin. ◄

La secuencia se llama creciente , si cada uno de sus miembros, a partir del segundo, es mayor que el anterior.

La secuencia se llama decreciente , si cada uno de sus miembros, a partir del segundo, es menor que el anterior.

Por ejemplo,

2, 4, 6, 8, . . . , 2norte, . . . — secuencia creciente;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /norte, . . . — secuencia decreciente. ◄

Una secuencia cuyos elementos no disminuyen a medida que aumenta el número o, por el contrario, no aumentan, se llama secuencia monótona .

Las secuencias monótonas, en particular, son secuencias crecientes y secuencias decrecientes.

Progresión aritmética

Progresión aritmética es una secuencia en la que cada miembro, a partir del segundo, es igual al anterior, al que se le suma el mismo número.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , un, . . .

es una progresión aritmética si para cualquier número natural norte se cumple la condición:

un +1 = un + d,

Dónde d - un cierto número.

Por tanto, la diferencia entre los términos anterior y posterior de una progresión aritmética dada es siempre constante:

un 2 - a 1 = un 3 - a 2 = . . . = un +1 - un = d.

Número d llamado diferencia de progresión aritmética.

Para definir una progresión aritmética basta con indicar su primer término y diferencia.

Por ejemplo,

Si a 1 = 3, d = 4 , luego encontramos los primeros cinco términos de la secuencia de la siguiente manera:

un 1 =3,

un 2 = un 1 + d = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + d= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para una progresión aritmética con el primer término a 1 y la diferencia d su norte

un = un 1 + (norte- 1)d.

Por ejemplo,

encontrar el trigésimo término de la progresión aritmética

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, d = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)re = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (norte- 2)d,

un= un 1 + (norte- 1)d,

un +1 = a 1 + Dakota del Norte,

entonces obviamente

un=	un n-1 + un n+1
	2

Cada miembro de una progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de los miembros anteriores y posteriores.

los números a, b y c son términos sucesivos de alguna progresión aritmética si y sólo si uno de ellos es igual a la media aritmética de los otros dos.

Por ejemplo,

un = 2norte- 7 , es una progresión aritmética.

Usemos la declaración anterior. Tenemos:

un = 2norte- 7,

un n-1 = 2(norte- 1) - 7 = 2norte- 9,

un n+1 = 2(norte+ 1) - 7 = 2norte- 5.

Por eso,

un n+1 + un n-1	=	2norte- 5 + 2norte- 9	= 2norte- 7 = un,
2		2

◄

Tenga en cuenta que norte El décimo término de una progresión aritmética se puede encontrar no sólo a través de a 1 , pero también cualquier anterior ak

un = ak + (norte- k)d.

Por ejemplo,

Para a 5 se puede escribir

un 5 = un 1 + 4d,

un 5 = un 2 + 3d,

un 5 = un 3 + 2d,

un 5 = un 4 + d. ◄

un = un nk + kd,

un = un n+k - kd,

entonces obviamente

un=	a n-k + un n+k
	2

cualquier miembro de una progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la mitad de la suma de los miembros igualmente espaciados de esta progresión aritmética.

Además, para cualquier progresión aritmética se cumple la siguiente igualdad:

un metro + un norte = un k + un l,

metro + norte = k + l.

Por ejemplo,

en progresión aritmética

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, porque

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

sn= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ un,

primero norte términos de una progresión aritmética es igual al producto de la mitad de la suma de los términos extremos por el número de términos:

De aquí, en particular, se deduce que si es necesario sumar los términos

ak, ak +1 , . . . , un,

entonces la fórmula anterior conserva su estructura:

Por ejemplo,

en progresión aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Si se da una progresión aritmética, entonces las cantidades a 1 , un, d, norte YS norte conectado por dos fórmulas:

Por lo tanto, si se dan los valores de tres de estas cantidades, entonces los valores correspondientes de las otras dos cantidades se determinan a partir de estas fórmulas, combinadas en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Una progresión aritmética es una secuencia monótona. Donde:

Si d > 0 , entonces está aumentando;
Si d < 0 , entonces está disminuyendo;
Si d = 0 , entonces la secuencia será estacionaria.

Progresión geométrica

Progresión geométrica es una secuencia en la que cada miembro, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , bn, . . .

es una progresión geométrica si para cualquier número natural norte se cumple la condición:

bn +1 = bn · q,

Dónde q ≠ 0 - un cierto número.

Por tanto, la relación entre el término siguiente de una progresión geométrica dada y el anterior es un número constante:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = bn +1 / bn = q.

Número q llamado denominador de progresión geométrica.

Para definir una progresión geométrica basta con indicar su primer término y denominador.

Por ejemplo,

Si b 1 = 1, q = -3 , luego encontramos los primeros cinco términos de la secuencia de la siguiente manera:

segundo 1 = 1,

segundo 2 = segundo 1 · q = 1 · (-3) = -3,

segundo 3 = segundo 2 · q= -3 · (-3) = 9,

segundo 4 = segundo 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 y denominador q su norte El décimo término se puede encontrar usando la fórmula:

bn = b 1 · qn -1 .

Por ejemplo,

encontrar el séptimo término de la progresión geométrica 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

segundo n-1 = segundo 1 · qn -2 ,

bn = segundo 1 · qn -1 ,

bn +1 = b 1 · qn,

entonces obviamente

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

cada miembro de la progresión geométrica, a partir del segundo, es igual a la media geométrica (proporcional) de los miembros anteriores y posteriores.

Como lo contrario también es cierto, se cumple la siguiente afirmación:

los números a, b y c son términos sucesivos de alguna progresión geométrica si y sólo si el cuadrado de uno de ellos es igual al producto de los otros dos, es decir, uno de los números es la media geométrica de los otros dos.

Por ejemplo,

Demostremos que la secuencia dada por la fórmula bn= -3 2 norte , es una progresión geométrica. Usemos la declaración anterior. Tenemos:

bn= -3 2 norte,

bn -1 = -3 2 norte -1 ,

bn +1 = -3 2 norte +1 .

Por eso,

bn 2 = (-3 2 norte) 2 = (-3 2 norte -1 ) · (-3 · 2 norte +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

lo que prueba la afirmación deseada. ◄

Tenga en cuenta que norte El décimo término de una progresión geométrica se puede encontrar no sólo a través de b 1 , pero también cualquier miembro anterior bk , para lo cual basta con utilizar la fórmula

bn = bk · qn - k.

Por ejemplo,

Para b 5 se puede escribir

segundo 5 = segundo 1 · q 4 ,

segundo 5 = segundo 2 · q 3,

segundo 5 = segundo 3 · q 2,

segundo 5 = segundo 4 · q. ◄

bn = bk · qn - k,

bn = bn - k · q k,

entonces obviamente

bn 2 = bn - k· bn + k

el cuadrado de cualquier término de una progresión geométrica, a partir del segundo, es igual al producto de los términos de esta progresión equidistantes de él.

Además, para cualquier progresión geométrica la igualdad es cierta:

b m· bn= bk· bl,

metro+ norte= k+ yo.

Por ejemplo,

en progresión geométrica

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , porque

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

sn= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + bn

primero norte miembros de una progresión geométrica con denominador q ≠ 0 calculado por la fórmula:

Y cuando q = 1 - según la fórmula

sn= nótese bien 1

Tenga en cuenta que si necesita sumar los términos

bk, bk +1 , . . . , bn,

entonces se utiliza la fórmula:

sn- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + bn = bk ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Por ejemplo,

en progresión geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Si se da una progresión geométrica, entonces las cantidades b 1 , bn, q, norte Y sn conectado por dos fórmulas:

Para una progresión geométrica con el primer término b 1 y denominador q ocurre lo siguiente propiedades de la monotonicidad :

La progresión aumenta si se cumple una de las siguientes condiciones:

b 1 > 0 Y q> 1;

b 1 < 0 Y 0 < q< 1;

La progresión es decreciente si se cumple una de las siguientes condiciones:

b 1 > 0 Y 0 < q< 1;

b 1 < 0 Y q> 1.

Si q< 0 , entonces la progresión geométrica es alterna: sus términos con números impares tienen el mismo signo que su primer término, y los términos con números pares tienen el signo opuesto. Está claro que una progresión geométrica alterna no es monótona.

Producto de la primera norte Los términos de una progresión geométrica se pueden calcular mediante la fórmula:

p norte= segundo 1 · segundo 2 · segundo 3 · . . . · bn = (segundo 1 · bn) norte / 2 .

Por ejemplo,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progresión geométrica infinitamente decreciente

Progresión geométrica infinitamente decreciente llamada progresión geométrica infinita cuyo módulo denominador es menor 1 , eso es

|q| < 1 .

Tenga en cuenta que una progresión geométrica infinitamente decreciente puede no ser una secuencia decreciente. Se adapta a la ocasión

1 < q< 0 .

Con tal denominador, la secuencia es alterna. Por ejemplo,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente. nombra el número al que se aproxima la suma de los primeros sin límite norte miembros de una progresión con un aumento ilimitado en el número norte . Este número es siempre finito y se expresa mediante la fórmula