Числовата редица е аритметична и геометрична. Аритметични и геометрични прогресии

ЧИСЛОВИ ПОРЕДИЦИИ

АРИТМЕТИЧНИ И ГЕОМЕТРИЧНИ ПРОГРЕСИИ

Ако за всяко естествено число нномер съвпада хн, тогава казват, че се дава числова последователност х 1, х 2, …, хн, ….

Запис на числова последователност {х н } .

В същото време числата х 1, х 2, …, хн, ... са наречени членове на последователността .

Основни методи за задаване на числови последователности

1. Един от най-удобните начини е да зададете последователност формулата на неговия общ член : хн = f(н), н Î н.

Например, хн = н 2 + 2н+ 3 Þ х 1 = 6, х 2 = 11, х 3 = 18, х 4 = 27, …

2. Директен трансфер краен брой първи членове.

Например https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Рекурентна връзка , т.е. формула, изразяваща n-члена чрез предходния един или повече членове.

Например, близо до Фибоначинаречена поредица от числа

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, което се определя периодично:

х 1 = 1, х 2 = 1, хн+1 = xn + xn–1 (н = 2, 3, 4, …).

Аритметични операции върху редица

1. Сумата (разликата) последователности ( Ан) И ( млрд cn } = { ан ± млрд}.

2. Работатапоследователности ( Ан) И ( млрд) се нарича последователност ( cn } = { ан× млрд}.

3. Частнопоследователности ( Ан) И ( млрд }, млрд¹ 0, наречена последователност ( cn } = { ан×/ млрд}.

Свойства на числовите редици

1. Последователност ( хн) е наречен ограничен отгоре М ннеравенството е вярно хн £ М.

2. Последователност ( хн) е наречен ограничен отдолу, ако съществува такова реално число м, което за всички природни ценности ннеравенството е вярно хн ³ м.

3. Последователност ( хн) е наречен повишаване на ннеравенството е вярно хн < хн+1.

4. Последователност ( хн) е наречен намаляващи, ако за всички природни стойности ннеравенството е вярно хн > хн+1.

5. Последователност ( хн) е наречен ненарастващ, ако за всички природни стойности ннеравенството е вярно хн ³ хн+1.

6. Последователност ( хн) е наречен ненамаляващ, ако за всички природни стойности ннеравенството е вярно хн £ хн+1.

Наричат се последователности нарастващи, намаляващи, ненарастващи, ненамаляващи монотоненпоследователности, с увеличаване и намаляване - строго монотонен.

Основни техники, използвани при изследване на последователност за монотонност

1. Използване на определението.

а) За изследваната последователност ( хн) разликата е направена

хн – хн+1 и след това откриваме дали тази разлика запазва постоянен знак за всяко н Î н, и ако да, кой точно. В зависимост от това се прави извод за монотонност (немонотонност) на редицата.

б) За последователности с постоянен знак ( хн) може да се създаде връзка хн+1/хни го сравнете с един.

Ако това отношение е пред всички не по-голямо от единица, то за строго положителна редица се прави изводът, че е нарастваща, а за строго отрицателна редица съответно е намаляваща.

Ако това отношение е пред всички не не по-малко от единица, то за строго положителна редица се прави изводът, че е ненамаляваща, а за строго отрицателна редица съответно е ненарастваща.

Ако това е отношението при някои числа нпо-голямо от едно и за други числа нпо-малко от едно, това показва немонотонния характер на последователността.

2. Отидете на функцията истински аргумент.

Нека е необходимо да се изследва числова последователност за монотонност

Ан = f(н), н Î н.

Нека представим функцията на реалния аргумент х:

f(х) = А(х), х³ 1,

и го проверете за монотонност.

Ако функцията е диференцируема на разглеждания интервал, тогава намираме нейната производна и изследваме знака.

Ако производната е положителна, тогава функцията нараства.

Ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява.

Връщайки се към естествените стойности на аргумента, ние разширяваме тези резултати до оригиналната последователност.

Номер АНаречен граница на последователността хн, ако за всяко произволно малко положително число e съществува такова естествено число н, което е за всички числа н > нудовлетворено неравенство | xn – а | < e.

Изчисляване на сумата н първи членове на редицата

1. Представяне на общия член на редицата под формата на разликата на два или повече израза по такъв начин, че при заместване повечето от междинните членове се намаляват и сумата се опростява значително.

2. За проверка и доказване на съществуващи формули за намиране на сумите на първите членове на редицата може да се използва методът на математическата индукция.

3. Някои проблеми с последователности могат да бъдат сведени до проблеми, включващи аритметични или геометрични прогресии.

Аритметични и геометрични прогресии

Аритметична прогресия

Геометрична прогресия

Определение

хн }, нÎ н, се нарича аритметична прогресия, ако всеки от нейните членове, започвайки от втория, е равен на предходния, добавен към същата числова константа за дадена последователност д, т.е.

Ан+1 = ан + д,

Където д– разлика в прогресията,

Ан– общ член ( нти член)

Определение

Числова последователност ( хн }, нÎ н, се нарича геометрична прогресия, ако всеки от нейните членове, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число, постоянно за дадена последователност р, т.е.

млрд+1 = млрд × р, b 1¹0, р ¹ 0,

Където р– знаменател на прогресията,

млрд– общ член ( нти член)

Монотонен

Ако д> 0, тогава прогресията нараства.

Ако д < 0, то прогрессия убывающая.

Монотонен

Ако b 1 > 0, р> 1 или b 1 < 0, 0 < р < 1, то прогрессия возрастающая.

Ако b 1 < 0, р> 1 или b 1 > 0, 0 < р < 1, то прогрессия убывающая.

Ако р < 0, то прогрессия немонотонная

Обща терминна формула

Ан = а 1 + д×( н – 1)

Ако 1 £ к £ н– тогава 1 Ан = ак + д×( н – к)

Обща терминна формула

млрд = b 1× qn – 1

Ако 1 £ к £ н– тогава 1 млрд = кн × qn –к

Характерно свойство

Ако 1 £ к £ н– тогава 1

Характерно свойство

Ако 1 £ к £ н– тогава 1

Имот

ан + сутринта = ак + ал, Ако н + м = к + л

Имот

млрд × bm = кн × бл, Ако н + м = к + л

Сума от първо н членове

сн = а 1 + а 2 + … + ан

или

Сума

сн = b 1 + b 2 + … + млрд

Ако р№ 1, тогава.

Ако р= 1, тогава сн = b 1× н.

Ако | р| < 1 и н® ¥, тогава

Операции върху прогресии

1. Ако ( Ан) И ( млрд) аритметични прогресии, след това последователността

{ ан ± млрд) също е аритметична прогресия.

2. Ако всички членове на аритметична прогресия ( Ан) умножете по същото реално число к, тогава получената последователност също ще бъде аритметична прогресия, чиято разлика съответно ще се промени в кведнъж

Операции върху прогресии

ако ( Ан) И ( млрд) геометрични прогресии със знаменатели р 1 и р 2 съответно, след това последователността:

1) {ан× млрд р 1× р 2;

2) {ан/млрд) също е геометрична прогресия със знаменателя р 1/р 2;

3) {|ан|) също е геометрична прогресия със знаменател | р 1|

Основни методи за решаване на прогресивни задачи

1. Един от най-разпространените методи за решение задачи върху аритметични прогресии е, че всички членове на прогресията, включени в проблемното състояние, се изразяват чрез разликата на прогресията д а дИ А 1.

2. Широко разпространен и считан за стандартен метод за решение задачи с геометрична прогресия , когато всички членове на геометричната прогресия, фигуриращи в постановката на проблема, са изразени чрез знаменателя на прогресията ри всеки един от неговите членове, най-често първият b 1. Въз основа на условията на задачата се съставя и решава система с неизвестни рИ b 1.

Примери за решаване на проблеми

Проблем 1 .

Дадена последователност хн = 4н(н 2 + 1) – (6н 2 + 1). Намерете сумата снпърви нчленове на тази последователност.

Решение. Нека трансформираме израза за общия член на редицата:

хн = 4н(н 2 + 1) – (6н 2 + 1) = 4н 3 + 4н – 6н 2 – 1 = н 4 – н 4 + 4н 3 – 6н 2 + 4н – 1 =

= н 4 – (н 4 – 4н 3 + 6н 2 – 4н+ 1) = н 4 – (н – 1)4.

сн = х 1 + х 2 + х 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (н 4 – (н – 1)4) = н 4.

Проблем 2 .

Дадена последователност Ан = 3н+ 2..gif" width="429" height="45">.

Оттук, А(3н + 5) +б(3н + 2) = 1,

(3А + 3б)н + (5А + 2б) = 1.

н.

н 1 | 3А + 3б = 0,

n0 | 5 А + 2б = 1.

А = 1/3, IN = –1/3.

Така https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " width="39" height="41 src="> Ан. Числото 1980 член ли е на тази редица? Ако да, тогава определете неговия номер.

Решение. Нека напишем първите нчленове на тази последователност:

А 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" width="93" height="41">.

Нека умножим тези равенства:

А 1А 2А 3А 4А 5…ан-2ан-1ан = А 1А 2А 3А 4А 5…ан-2ан-1.

Оттук, ан = н(н + 1).

След това, 1980 = н(н+ 1) Û н 2 + н– 1980 = 0 Û н = –45 < 0, н= 44 О н.

Отговор:да н = 44.

Проблем 4 .

Намерете сумата С = А 1 + А 2 + А 3 + … + Анчисла А 1, А 2, А 3, …,Ан, което за всяка естествена нзадоволяват равенството сн = А 1 + 2А 2 + 3А 3 + … + нАн = .

Решение. С 1 = а 1 = 2/3.

За н > 1, нан = сн – сн–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

Оттук, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

А(н + 1)(н + 2) + Bn(н + 2) + Cn(н + 1) = 1

(А + б + ° С)н 2 + (3А + 2б + ° С)н + 2А = 1,

Нека приравним коефициентите при съответните степени н.

н 2 | А + б + ° С= 0,

н 1 | 3А + 2б+ ° С = 0,

n0 | 2 А = 1.

Решавайки получената система, получаваме А = 1/2, IN= –1, C = 1/2.

И така, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

Където , , н > 1,

С¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

С¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

С = А 1 + А 2 + А 3 + … + Ан = А 1 +=

=А 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

Проблем 5 .

Намерете най-големия член на редицата .

Решение. Да сложим млрд = –н 2 + 8н – 7 = 9 – (н – 4)2, .

Понятие за числова последователност

Определение 2

Преобразуването на естествена серия от числа върху набор от реални числа ще се нарича числова последователност: $f:N→R$

Цифровата последователност е посочена, както следва:

$(p_k )=(p_1,p_2,…,p_k,…)$

където $p_1,p_2,…,p_k,…$ са реални числа.

Има три различни начина за указване на числови последователности. Нека ги опишем.

Аналитичен.

При този метод последователността е зададена под формата на формула, с която можете да намерите всеки член на тази последователност, като заместите в нея естествени числа вместо променлива.

Повтарящи се.

Този метод за уточняване на последователност е както следва: дава се първият (или първите няколко) член на последователността и след това формула, която свързва всеки член от нея с предишния член или предишни членове.

Глаголен.

С този метод числовата последователност се описва просто, без да се въвеждат никакви формули.

Два специални случая на числови последователности са аритметична и геометрична прогресия.

Аритметична прогресия

Определение 3

Аритметична прогресияе последователност, която се описва устно, както следва: Дадено е първото число. Всяка следваща се дефинира като сбор от предходната с предварително определено конкретно число $d$.

В тази дефиниция предварително определено число ще се нарича разлика на аритметична прогресия.

$p_1,p_(k+1)=p_k+d.$

Бележка 1

Обърнете внимание, че специален случай на аритметична прогресия е постоянна прогресия, в която разликата на прогресията е равна на нула.

За да се посочи аритметична прогресия, в началото се показва следният символ:

$p_k=p_1+(k-1)d$

$S_k=\frac((p_1+p_k)k)(2)$ или $S_k=\frac((2p_1+(k-1)d)k)(2) $

Аритметичната прогресия има така нареченото характеристично свойство, което се определя от формулата:

$p_k=\frac(p_(k-1)+p_(k+1))(2)$

Геометрична прогресия

Определение 4

Геометрична прогресияе редица, която се описва словесно по следния начин: Дадено е първото число, което не е равно на нула. Всеки следващ се дефинира като произведение на предходния с предварително определено специфично ненулево число $q$.

В тази дефиниция предварително определено число ще се нарича знаменател на геометрична прогресия.

Очевидно записваме тази последователност рекурсивно, както следва:

$p_1≠0,p_(k+1)=p_k q,q≠0$.

Бележка 2

Имайте предвид, че специален случай на геометрична прогресия е константна прогресия, в която знаменателят на прогресията е равен на единица.

За да се посочи аритметична прогресия, в началото се показва следният символ:

От рекурентната връзка за дадена последователност лесно се извежда формула за намиране на произволен член през първия:

$p_k=p_1 q^((k-1))$

Сумата от $k$ на първите членове може да се намери с помощта на формулата

$S_k=\frac(p_k q-p_1)(q-1)$ или $S_k=\frac(p_1 (q^k-1))(q-1)$

Той е геометричен.

Очевидно знаменателят на тази геометрична прогресия е равен на

$q=\frac(9)(3)=3$

След това, използвайки втората формула за сумата от аритметична прогресия, получаваме:

$S_5=\frac(3\cdot (3^5-1))(3-1)=363$

Някои хора се отнасят с повишено внимание към думата „прогресия“ като към много сложен термин от клоновете на висшата математика. Междувременно най-простата аритметична прогресия е работата на таксиметъра (където все още съществуват). И разбирането на същността (и в математиката няма нищо по-важно от „разбирането на същността“) на една аритметична последователност не е толкова трудно, след като анализирате няколко елементарни понятия.

Математическа числова последователност

Цифровата последователност обикновено се нарича поредица от числа, всяко от които има свой номер.

a 1 е първият член на последователността;

и 2 е вторият член на последователността;

и 7 е седмият член на редицата;

и n е n-тият член на последователността;

Въпреки това не всеки произволен набор от числа и числа ни интересува. Ще съсредоточим вниманието си върху числова последователност, в която стойността на n-тия член е свързана с неговия пореден номер чрез връзка, която може да бъде ясно формулирана математически. С други думи: числената стойност на n-то число е някаква функция на n.

a е стойността на член на числова редица;

n е неговият сериен номер;

f(n) е функция, където поредният номер в числовата последователност n е аргумент.

Определение

Аритметична прогресия обикновено се нарича числова последователност, в която всеки следващ член е по-голям (по-малък) от предходния със същото число. Формулата за n-тия член на аритметична последователност е следната:

a n - стойността на текущия член на аритметичната прогресия;

a n+1 - формула на следващото число;

d - разлика (определено число).

Лесно е да се определи, че ако разликата е положителна (d>0), тогава всеки следващ член на разглежданата серия ще бъде по-голям от предишния и такава аритметична прогресия ще нараства.

На графиката по-долу е лесно да се види защо числовата последователност се нарича „нарастваща“.

В случаите, когато разликата е отрицателна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Посочена стойност на член

Понякога е необходимо да се определи стойността на произволен член a n от аритметична прогресия. Това може да стане чрез последователно изчисляване на стойностите на всички членове на аритметичната прогресия, като се започне от първия до желания. Този път обаче не винаги е приемлив, ако например е необходимо да се намери стойността на петхилядната или осеммилионната дума. Традиционните изчисления ще отнемат много време. Въпреки това, специфична аритметична прогресия може да бъде изследвана с помощта на определени формули. Има и формула за n-тия член: стойността на всеки член на аритметична прогресия може да се определи като сбор от първия член на прогресията с разликата на прогресията, умножена по номера на желания член, намалена с един.

Формулата е универсална за увеличаване и намаляване на прогресията.

Пример за изчисляване на стойността на даден термин

Нека решим следната задача за намиране на стойността на n-тия член на аритметична прогресия.

Условие: има аритметична прогресия с параметри:

Първият член на редицата е 3;

Разликата в числовата серия е 1,2.

Задача: трябва да намерите стойността на 214 члена

Решение: за да определим стойността на даден член, използваме формулата:

a(n) = a1 + d(n-1)

Замествайки данните от формулировката на проблема в израза, имаме:

a(214) = a1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Отговор: 214-ият член на редицата е равен на 258,6.

Предимствата на този метод на изчисление са очевидни - цялото решение отнема не повече от 2 реда.

Сума от даден брой членове

Много често в дадена аритметична серия е необходимо да се определи сумата от стойностите на някои от нейните сегменти. За да направите това, също няма нужда да изчислявате стойностите на всеки член и след това да ги събирате. Този метод е приложим, ако броят на членовете, чиято сума трябва да се намери, е малък. В други случаи е по-удобно да използвате следната формула.

Сумата от членовете на аритметичната прогресия от 1 до n е равна на сумата от първия и n-тия член, умножена по номера на члена n и разделена на две. Ако във формулата стойността на n-тия термин се замени с израза от предходния параграф на статията, получаваме:

Пример за изчисление

Например, нека решим задача със следните условия:

Първият член на редицата е нула;

Разликата е 0,5.

Задачата изисква определяне на сумата от членовете на редицата от 56 до 101.

Решение. Нека използваме формулата за определяне на степента на прогресия:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Първо, ние определяме сумата от стойностите на 101 членове на прогресията, като заместваме дадените условия на нашия проблем във формулата:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Очевидно, за да се намери сумата от членовете на прогресията от 56-то до 101-во, е необходимо да се извади S 55 от S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Така сумата от аритметичната прогресия за този пример е:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Пример за практическо приложение на аритметичната прогресия

В края на статията нека се върнем към примера за аритметична последователност, дадена в първия параграф - таксиметър (таксиметров автомобил). Нека разгледаме този пример.

Качването на такси (което включва 3 км пътуване) струва 50 рубли. Всеки следващ километър се заплаща в размер на 22 рубли/км. Разстоянието за пътуване е 30 км. Изчислете цената на пътуването.

1. Да изхвърлим първите 3 км, чиято цена е включена в цената на кацането.

30 - 3 = 27 км.

2. По-нататъшното изчисление не е нищо повече от анализиране на аритметична числова серия.

Номер на член - броят на изминатите километри (минус първите три).

Стойността на члена е сумата.

Първият член в тази задача ще бъде равен на 1 = 50 рубли.

Разлика в прогресията d = 22 r.

числото, което ни интересува, е стойността на (27+1)-ия член от аритметичната прогресия - показанието на измервателния уред в края на 27-ия километър е 27,999... = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Изчисленията на календарните данни за произволно дълъг период се основават на формули, описващи определени числови последователности. В астрономията дължината на орбитата е геометрично зависима от разстоянието на небесното тяло до звездата. В допълнение, различни числови серии се използват успешно в статистиката и други приложни области на математиката.

Друг вид числова последователност е геометричната

Геометричната прогресия се характеризира с по-големи темпове на промяна в сравнение с аритметичната прогресия. Неслучайно в политиката, социологията и медицината, за да покажат високата скорост на разпространение на определено явление, например заболяване по време на епидемия, казват, че процесът се развива в геометрична прогресия.

N-тият член на редицата от геометрични числа се различава от предишния по това, че се умножава по някакво постоянно число - знаменателят, например, първият член е 1, знаменателят съответно е равен на 2, тогава:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - стойността на текущия член на геометричната прогресия;

b n+1 - формула на следващия член на геометричната прогресия;

q е знаменателят на геометричната прогресия (постоянно число).

Ако графиката на аритметичната прогресия е права линия, тогава геометричната прогресия рисува малко по-различна картина:

Както в случая с аритметиката, геометричната прогресия има формула за стойността на произволен член. Всеки n-ти член от геометрична прогресия е равен на произведението от първия член и знаменателя на прогресията на степен n, намален с единица:

Пример. Имаме геометрична прогресия, като първият член е равен на 3 и знаменателят на прогресията е равен на 1,5. Нека намерим 5-ия член на прогресията

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Сумата от даден брой членове също се изчислява по специална формула. Сумата от първите n члена на геометрична прогресия е равна на разликата между произведението на n-тия член на прогресията и неговия знаменател и първия член на прогресията, разделено на знаменателя, намален с единица:

Ако b n се замени с формулата, обсъдена по-горе, стойността на сумата от първите n членове на разглежданата числова серия ще приеме формата:

Пример. Геометричната прогресия започва с първия член, равен на 1. Знаменателят е настроен на 3. Нека намерим сбора на първите осем члена.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Вида г= f(х), хОТНОСНО н, Където н– набор от естествени числа (или функция на естествен аргумент), означ г=f(н) или г 1 ,г 2 ,…, y n,…. Стойности г 1 ,г 2 ,г 3 ,… се наричат съответно първи, втори, трети, ... членове на редицата.

Например за функцията г= н 2 може да се напише:

г 1 = 1 2 = 1;

г 2 = 2 2 = 4;

г 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Методи за специфициране на последователности.Последователностите могат да бъдат специфицирани по различни начини, сред които особено важни са три: аналитичен, описателен и повтарящ се.

1. Редица е дадена аналитично, ако е дадена нейната формула нти член:

y n=f(н).

Пример. y n= 2н - 1 – поредица от нечетни числа: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описателен Начинът да се уточни числова последователност е да се обясни от кои елементи е изградена последователността.

Пример 1. „Всички членове на редицата са равни на 1.“ Това означава, че говорим за стационарна последователност 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2: „Поредицата се състои от всички прости числа във възходящ ред.“ Така дадената последователност е 2, 3, 5, 7, 11, …. С този метод за уточняване на последователността в този пример е трудно да се отговори на какво е равен, да речем, 1000-ният елемент от последователността.

3. Повтарящият се метод за указване на последователност е да укажете правило, което ви позволява да изчислявате н-ти член на редица, ако предишните й членове са известни. Наименованието повтарящ се метод идва от латинската дума рецидивиращ- Върни се. Най-често в такива случаи се посочва формула, която позволява да се изрази нчлен на редицата през предходните и посочете 1–2 начални члена на редицата.

Пример 1. г 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ако н = 2, 3, 4,….

Тук г 1 = 3; г 2 = 3 + 4 = 7;г 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можете да видите, че последователността, получена в този пример, може да бъде определена и аналитично: y n= 4н - 1.

Пример 2. г 1 = 1; г 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 ако н = 3, 4,….

Тук: г 1 = 1; г 2 = 1; г 3 = 1 + 1 = 2; г 4 = 1 + 2 = 3; г 5 = 2 + 3 = 5; г 6 = 3 + 5 = 8;

Последователността в този пример е особено изучавана в математиката, защото има редица интересни свойства и приложения. Нарича се редицата на Фибоначи, кръстена на италианския математик от 13-ти век. Много е лесно да се дефинира последователността на Фибоначи периодично, но е много трудно аналитично. нЧислото на Фибоначи се изразява чрез неговия пореден номер по следната формула.

На пръв поглед формулата за нномерът на Фибоначи изглежда неправдоподобен, тъй като формулата, която определя последователността от естествени числа, съдържа само квадратни корени, но можете да проверите „ръчно“ валидността на тази формула за първите няколко н.

Свойства на числовите редици.

Числовата последователност е специален случай на числова функция, следователно редица свойства на функциите също се разглеждат за последователности.

Определение . Последователност ( y n} се нарича нарастващ, ако всеки от неговите членове (с изключение на първия) е по-голям от предходния:

г 1 y 2 y 3 y n y n +1

Определение. Последователност ( y n} се нарича намаляваща, ако всеки от неговите членове (с изключение на първия) е по-малък от предходния:

г 1 > г 2 > г 3 > … > y n> y n +1 > … .

Нарастващи и намаляващи последователности се обединяват под общия термин - монотонни последователности.

Пример 1. г 1 = 1; y n= н 2 – нарастваща последователност.

Следователно следната теорема е вярна (характерно свойство на аритметична прогресия). Една числова редица е аритметична тогава и само ако всеки от нейните членове, с изключение на първия (и последния в случай на крайна редица), е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.

Пример. На каква стойност хчисла 3 х + 2, 5х– 4 и 11 х+ 12 образуват крайна аритметична прогресия?

Според характеристичното свойство дадените изрази трябва да удовлетворяват отношението

5х – 4 = ((3х + 2) + (11х + 12))/2.

Решаването на това уравнение дава х= –5,5. При тази стойност хдадени изрази 3 х + 2, 5х– 4 и 11 х+ 12 вземете съответно стойностите -14,5, –31,5, –48,5. Това е аритметична прогресия, нейната разлика е –17.

Геометрична прогресия.

Числова поредица, всички членове на която са различни от нула и всеки член, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножаване по същото число р, се нарича геометрична прогресия, а числото р- знаменателят на геометрична прогресия.

По този начин геометричната прогресия е числова последователност ( b n), дефинирани рекурсивно от отношенията

b 1 = b, b n = b n –1 р (н = 2, 3, 4…).

(bИ q –дадени числа, b ≠ 0, р ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, ... – нарастваща геометрична прогресия b = 2, р = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрична прогресия b= 2,р= –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрична прогресия b= 8, р= 1.

Геометричната прогресия е нарастваща последователност, ако b 1 > 0, р> 1 и намалява, ако b 1 > 0, 0 q

Едно от очевидните свойства на геометричната прогресия е, че ако последователността е геометрична прогресия, то такава е и последователността от квадрати, т.е.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... е геометрична прогресия, чийто първи член е равен на b 1 2 , а знаменателят е р 2 .

Формула н-членът на геометричната прогресия има формата

b n= b 1 qn– 1 .

Можете да получите формула за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия.

Нека е дадена крайна геометрична прогресия

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

позволявам S n –сумата от неговите членове, т.е.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Прието е, че р No 1. Да се определи S nизползва се изкуствена техника: извършват се някои геометрични трансформации на израза S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)р = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

По този начин, S n q= S n +b n q – b 1 и следователно

Това е формулата с umma n термини на геометричната прогресияза случая, когато р≠ 1.

При р= 1 не е необходимо формулата да се извежда отделно; очевидно е, че в този случай S n= а 1 н.

Прогресията се нарича геометрична, защото всеки член в нея, с изключение на първия, е равен на средното геометрично на предходния и следващите членове. Наистина, тъй като

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

следователно, b n 2=bn– 1 bn+ 1 и е вярна следната теорема (характерно свойство на геометрична прогресия):

числовата последователност е геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на всеки от нейните членове, с изключение на първия (и последния в случай на крайна последователност), е равен на произведението на предишния и следващите членове.

Граница на консистенция.

Нека има последователност ( c n} = {1/н}. Тази последователност се нарича хармонична, тъй като всеки от нейните членове, започвайки от втория, е хармоничната средна стойност между предишния и следващите членове. Средно геометрично на числата аИ bима номер

В противен случай последователността се нарича дивергентна.

Въз основа на това определение може например да се докаже съществуването на граница А=0за хармоничната последователност ( c n} = {1/н). Нека ε е произволно малко положително число. Разликата се разглежда

Съществува ли такова нещо? нтова е за всички n ≥ ннеравенство 1 е в сила /Н ? Ако го приемем като нвсяко естествено число, по-голямо от 1/ε , след това за всички n ≥ Nнеравенство 1 е в сила /n ≤ 1/N ε, Q.E.D.

Доказването на наличието на ограничение за определена последователност понякога може да бъде много трудно. Най-често срещаните последователности са добре проучени и са изброени в справочници. Има важни теореми, които ви позволяват да заключите, че дадена последователност има граница (и дори да я изчислите), въз основа на вече изучени последователности.

Теорема 1. Ако една последователност има граница, значи тя е ограничена.

Теорема 2. Ако една последователност е монотонна и ограничена, тогава тя има граница.

Теорема 3. Ако последователността ( a n} има ограничение А, след това последователностите ( мога}, {a n+ в) и (| a n|} имат граници cA, А +° С, |А| съответно (тук ° С– произволно число).

Теорема 4. Ако последователностите ( a n} И ( b n) имат граници, равни на АИ б pa n + qbn) има ограничение pA+ qB.

Теорема 5. Ако последователностите ( a n) И ( b n) имат граници, равни на АИ бсъответно, тогава последователността ( a n b n) има ограничение AB.

Теорема 6. Ако последователностите ( a n} И ( b n) имат граници, равни на АИ бсъответно и в допълнение, b n ≠ 0 и B≠ 0, след това последователността ( a n / b n) има ограничение A/B.

Анна Чугайнова

Ако за всяко естествено число н съответства на реално число a n , тогава казват, че се дава числова последователност :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

И така, числовата последователност е функция на естествения аргумент.

Номер а 1 Наречен първия член на последователността , номер а 2 — вторият член на последователността , номер а 3 — трети и така нататък. Номер a n Наречен n-ти член на редицата , и естествено число н — номера му .

От два съседни члена a n И a n +1 член на последователността a n +1 Наречен последващи (към a n ), А a n — предишен (към a n +1 ).

За да дефинирате последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователността с произволен номер.

Често последователността се определя с помощта на n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.

Например,

последователност от положителни нечетни числа може да бъде дадена чрез формулата

a n= 2н- 1,

и последователността на редуване 1 И -1 - формула

bн = (-1)н +1 . ◄

Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява всеки член на последователността, започвайки с някои, през предходните (един или повече) членове.

Например,

Ако а 1 = 1 , А a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност се установяват, както следва:

а 1 = 1,

а 2 = 1,

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последователностите могат да бъдат финал И безкраен .

Последователността се нарича крайна , ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен , ако има безкрайно много членове.

Например,

поредица от двуцифрени естествени числа:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

финал.

Последователност от прости числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

безкраен. ◄

Последователността се нарича повишаване на , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.

Последователността се нарича намаляващи , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.

Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2н, . . . — нарастваща последователност;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /н, . . . — намаляваща последователност. ◄

Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .

Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.

Аритметична прогресия

Аритметична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

е аритметична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:

a n +1 = a n + д,

Където д - определено число.

По този начин разликата между следващите и предишните членове на дадена аритметична прогресия е винаги постоянна:

а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = д.

Номер д Наречен разлика в аритметичната прогресия.

За да се дефинира аритметична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и разлика.

Например,

Ако а 1 = 3, д = 4 , тогава намираме първите пет члена на редицата, както следва:

а 1 =3,

а 2 = а 1 + д = 3 + 4 = 7,

а 3 = а 2 + д= 7 + 4 = 11,

а 4 = а 3 + д= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + д= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметична прогресия с първия член а 1 и разликата д нея н

a n = а 1 + (н- 1)д.

Например,

намерете тридесетия член на аритметичната прогресия

1, 4, 7, 10, . . .

а 1 =1, д = 3,

а 30 = а 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = а 1 + (н- 2)д,

a n= а 1 + (н- 1)д,

a n +1 = а 1 + nd,

тогава очевидно

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.

числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.

Например,

a n = 2н- 7 , е аритметична прогресия.

Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

a n = 2н- 7,

n-1 = 2(н- 1) - 7 = 2н- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2н- 5.

следователно

a n+1 + a n-1	=	2н- 5 + 2н- 9	= 2н- 7 = a n,
2		2

◄

Забележи, че н Членът на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез а 1 , но и всички предишни a k

a n = a k + (н- к)д.

Например,

За а 5 може да се запише

а 5 = а 1 + 4д,

а 5 = а 2 + 3д,

а 5 = а 3 + 2д,

а 5 = а 4 + д. ◄

a n = един н-к + kd,

a n = a n+k - kd,

тогава очевидно

a n=	а н-к +a n+k
	2

всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на еднакво разположените членове на тази аритметична прогресия.

В допълнение, за всяка аритметична прогресия е валидно следното равенство:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Например,

в аритметична прогресия

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = а 3 + 7д= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, защото

а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

първи н членове на аритметична прогресия е равно на произведението на половината от сумата на екстремните членове и броя на членовете:

От тук по-специално следва, че ако трябва да сумирате условията

a k, a k +1 , . . . , a n,

тогава предишната формула запазва своята структура:

Например,

в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата а 1 , a n, д, нИС н свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

Аритметичната прогресия е монотонна последователност. при което:

Ако д > 0 , след това се увеличава;
Ако д < 0 , тогава намалява;
Ако д = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.

Геометрична прогресия

Геометрична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:

b n +1 = b n · р,

Където р ≠ 0 - определено число.

Така съотношението на следващия член на дадена геометрична прогресия към предходния е постоянно число:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.

Номер р Наречен знаменател на геометричната прогресия.

За да се определи геометрична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и знаменател.

Например,

Ако b 1 = 1, р = -3 , тогава намираме първите пет члена на редицата, както следва:

b 1 = 1,

б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,

b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменател р нея н Терминът може да се намери с помощта на формулата:

b n = b 1 · qn -1 .

Например,

намерете седмия член на геометричната прогресия 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, р = 2,

b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

тогава очевидно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.

Тъй като обратното също е вярно, следва следното твърдение:

числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях е равен на произведението на другите две, т.е. едно от числата е средно геометрично на другите две.

Например,

Нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 н , е геометрична прогресия. Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

b n= -3 2 н,

b n -1 = -3 2 н -1 ,

b n +1 = -3 2 н +1 .

следователно

b n 2 = (-3 2 н) 2 = (-3 2 н -1 ) · (-3 · 2 н +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

което доказва желаното твърдение. ◄

Забележи, че н Членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен член b k , за което е достатъчно да използвате формулата

b n = b k · qn - к.

Например,

За b 5 може да се запише

б 5 = b 1 · р 4 ,

б 5 = б 2 · р 3,

б 5 = б 3 · р 2,

б 5 = b 4 · р. ◄

b n = b k · qn - к,

b n = b n - к · q k,

тогава очевидно

b n 2 = b n - к· b n + к

квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.

Освен това за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:

b m· b n= b k· b l,

м+ н= к+ л.

Например,

в геометрична прогресия

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , защото

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

първи н членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:

И когато р = 1 - по формулата

S n= nb 1

Имайте предвид, че ако трябва да сумирате условията

b k, b k +1 , . . . , b n,

тогава се използва формулата:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - к +1	.
	1 - р

Например,

в геометрична прогресия 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, нИ S n свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :

прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И р> 1;

b 1 < 0 И 0 < р< 1;

Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И 0 < р< 1;

b 1 < 0 И р> 1.

Ако р< 0 , тогава геометричната прогресия се редува: нейните членове с нечетни числа имат същия знак като първия й член, а членовете с четни числа имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.

Продукт на първия н членовете на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:

P n= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) н / 2 .

Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия наречена безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък 1 , това е

|р| < 1 .

Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Подходящ е за случая

1 < р< 0 .

При такъв знаменател последователността е променлива. Например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, към което сумата от първите се приближава неограничено н членове на прогресия с неограничено увеличение на броя н . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата