Непрерывные дроби. Значение непрерывные дроби в словаре кольера "непрерывные дроби" в книгах

- 88.50 Кб

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

ФБОУ СПО «ДИВНОГОРСКИЙ ЛЕСХОЗ – ТЕХНИКУМ»

КАБИНЕТ МАТЕМАТИКИ

ОТЧЁТ

ПО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ №

ПО ТЕМЕ «НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ»

Выполнил:

Студент 1 курса гр. 11Б-Л Кардапольцев А.О.

Проверил:

Преподаватель: Коновалова Е.Г.

Оценка:

Введение - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

Непрерывная дробь- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Разложение в цепную дробь - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Приближение вещественных чисел рациональными - - 6

Историческая справка - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Заключение - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Библиографический список - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9

Введение

Целью моей исследовательской работы является исследование теории цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.

Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Непрерывная дробь

Цепная дробь (или непрерывная дробь ) - это математическое выражение вида

где a 0 есть целое число и все остальные a n натуральные числа (то есть неотрицательные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

Разложение в цепную дробь

Любое вещественное число x может быть представлено (конечной или бесконечной) цепной дробью где

где обозначает целую часть числа x .

Для рационального числа x это разложение оборвётся по достижении нулевого x n для некоторого n . В этом случае x представляется конечной цепной дробью

Для иррационального x все величины x n будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае x представляется бесконечной цепной дробью

Приближение вещественных чисел рациональными

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число x разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству:

Отсюда, в частности, следует:

1) подходящая дробь является наилучшим приближением

для x среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит q n ;

2) мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

Примеры

1) Разложим число π =3,14159265… в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Вторая дробь (22/7) - это известное Архимедово приближение. Четвёртая (355/113) была впервые получена в Древнем Китае.

2) В теории музыки требуется отыскать рациональное приближение для

Третья подходящая дробь: 7/12 позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов .

Историческая справка

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение:

Это 12-я подходящая дробь для

Или от 4-й подходящей дроби для.

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа π (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь» . Эквивалентный термин «цепная дробь » появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

Заключение

Данная исследовательская работа показывает значение цепных дробей в математике.

Их можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида

ax+by=c.

Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения.

Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных уравнений, например, так называемого уравнения Пелля:

().

Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.

В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ.

Библиографический список:

http://ru.wikipedia.org

Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М, “Просвещение”, 84.
И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М, “Наука”, 72.
А.А. Кочева. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М, “Просвещение”, 84.
Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М, “Просвещение”, 93.

Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, “Просвещение”,

Описание работы

Непрерывная дробь- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Разложение в цепную дробь - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Приближение вещественных чисел рациональными - - 6

Историческая справка - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Заключение - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Библиографический список - - - - - - - - - - - - - - -

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ

Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби. Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... порождает непрерывную дробь

где многоточие в конце указывает на то, что процесс продолжается бесконечно. В свою очередь непрерывная дробь порождает другую последовательность дробей, называемых подходящими. В нашем примере первая, вторая, третья и четвертая подходящие дроби равны

Их можно построить по простому правилу из последовательности неполных частных 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... . Прежде всего выпишем первую и вторую подходящие дроби 1/1 и 3/2. Третья подходящая дробь равна (2?1 + 3?3)/(2?1 + 3?2) или 11/8, ее числитель равен сумме произведений числителей первой и второй подходящих дробей, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного, а знаменатель равен сумме произведений знаменателей первого и второго неполных частных, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного. Четвертая подходящая дробь получается аналогично из четвертого неполного частного 3/4 и второй и третьей подходящих дробей: (3?3 + 4?11)/(3?2 + 4?8) или 53/38. Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Запишем их в виде десятичных дробей (с шестью знаками после запятой): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Значением нашей непрерывной дроби будет число x, первые цифры которого 1,3922. Подходящие дроби являются лучшим приближением числа x. Причем они поочередно оказываются то меньше, то больше числа x (нечетные - больше x, а четные - меньше).

Чтобы представить отношение двух положительных целых чисел в виде конечной непрерывной дроби, нужно воспользоваться методом нахождения наибольшего общего делителя. Например, возьмем отношение 50/11. Так как 50 = 4?11 + 6 или 11/50 = 1/(4 + 6/11), и, аналогично, 6/11 = 1/(1 + 5/6) или 5/6 = 1/(1 + 1/5), получаем:

Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Предположим, что x - иррациональное число (т.е. непредставимо в виде отношения двух целых чисел). Тогда, если n0 - наибольшее целое число, которое меньше x, то x = n0 + (x - n0), где x - n0 - положительное число меньше 1, поэтому обратное ему число x1 больше 1 и x = n0 + 1/x1. Если n1 - наибольшее целое число, которое меньше x1, то x1 = n1 + (x1 - n1), где x1 - n1 - положительное число, которое меньше 1, поэтому обратное ему число x2 больше 1, и x1 = n1 + 1/x2. Если n2 - наибольшее целое число, которое меньше x2, то x2 = n2 + 1/x3, где x3 больше 1, и т.д. В результате мы шаг за шагом находим последовательность неполных частных n0, 1/n1, 1/n2, ... непрерывной дроби, являющихся приближениями x.

Поясним сказанное на примере. Предположим, что тогда

Первые 6 подходящих дробей равны 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записанные в виде десятичных дробей они дают следующие приближенные значения: 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Непрерывная дробь для имеет неполные частные 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... . Иррациональное число является корнем квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами в том и только в том случае, если неполные частные его разложения в непрерывную дробь периодичны.

Непрерывные дроби тесно связны со многими разделами математики, например с теорией функций, расходящимися рядами, проблемой моментов, дифференциальными уравнениями и бесконечными матрицами. Если x - радианная мера острого угла, то тангенс угла x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, ?x2/3, ?x2/7, ?x2/9, ..., а если x - положительное число, то натуральный логарифм от 1 + x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4, 22x/5, 32x/6, ... . Формальным решением дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x в виде степенного ряда является расходящийся степенной ряд 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Этот степенной ряд можно преобразовать в непрерывную дробь с неполными частными 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ..., а ее в свою очередь использовать для получения решения дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x.

Кольер. Словарь Кольера. 2012

Смотрите еще толкования, синонимы, значения слова и что такое НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ в русском языке в словарях, энциклопедиях и справочниках:

ДРОБЬ
Если делится какое-нибудь целое число а на другое целое число b, т. е. ищется число x, удовлетворяющее условию bx=а, то …
ОСТРОВ КАУАИ в Справочнике Чудес, необычных явлений, НЛО и прочего:
самое сырое место на Земле, расположенное в Гавайском архипелаге в Тихом океане, где идут практически непрерывные ливневые дожди. Среднегодовое количество …
СТАЛКЕР (ФИЛЬМ) в Цитатнике Wiki.
РОССИЯ, РАЗД. МАТЕМАТИКА в Краткой биографической энциклопедии:
Рпоха письменных памятников застает в России употребление десятичной системы счисления в пределах 1 - 10000 (тьма) и дробей двоичной системы …
ДРОБЬ в Большом энциклопедическом словаре:
ЯКОБИАН
функциональный определитель -aik-1n с элементами, где yi fi (X1 , ... , Xn), l £ i £ …
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (МАТЕМАТ.) в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные …
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
уравнения, весьма общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К Ф. у. по существу относятся дифференциальные уравнения, …
УРОВНИ ЭНЕРГИИ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
энергии, возможные значения энергии квантовых систем, т. е. систем, состоящих из микрочастиц (электронов, протонов и др. элементарных частиц, атомных ядер, …
ТОПОЛОГИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(от греч. tоpos - место и - логия) - часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии …
ТЕРМОДИНАМИКА НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
неравновесных процессов, общая теория макроскопического описания неравновесных процессов. Она называется также неравновесной термодинамикой или термодинамикой необратимых процессов. Классическая термодинамика …
ТЕРМИЧЕСКАЯ ПЕЧЬ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
печь, промышленная печь для проведения различных операций термической или химико-термической обработки металлических изделий. Т. п. классифицируют по методу работы: периодические …
СССР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
науки Авиационная наука и техника В дореволюционной России был построен ряд самолётов оригинальной конструкции. Свои самолёты создали (1909-1914) Я. М. …
РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
функция, функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами. Р. …
ПРОКАТНЫЙ СТАН в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
стан, машина для обработки давлением металла и др. материалов между вращающимися валками, т. е. для осуществления процесса прокатки, в …
ПОЛИМЕРЫ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(от греч. polymeres - состоящий из многих частей, многообразный), химические соединения с высокой молекулярной массой (от нескольких тысяч до многих …
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДРОБЬ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
дробь, бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, стоит только периодически повторяющаяся определённая группа цифр. Например, 1,3181818...; короче …
НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
дробь, цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Н. д. есть выражение вида где a 0 - …
НЕПРЕРЫВНАЯ ГРУППА в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
группа, математическое понятие, как и понятие обыкновенной группы, возникающее при рассмотрении преобразований. Пусть М - множество элементов х какого-либо …
МАРОККО в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
Королевство Марокко (араб. - Аль-Мамляка аль-Магрибия, или Магриб аль-Акса, буквально - дальний запад). I. Общие сведения М. - государство на …
ЛИНИЯ (ГЕОМЕТРИЧ. ПОНЯТИЕ) в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется …
КОЛИЧЕСТВО в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
категория, выражающая внешнее, формальное взаимоотношение предметов или их частей, а также свойств, связей: их величину, число, степень проявления того или …
КИБЕРНЕТИКА в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(от греч. kybernetike - искусство управления, от kybernao - правлю рулём, управляю), наука об управлении, связи и переработке информации. …
ЗОЛОТЫЕ СПЛАВЫ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
сплавы, сплавы, важнейшим компонентом которых является золото (Au). Сплавление Au с др. металлами (лигатурами) имеет целью повышение прочности …
ЗАГОТОВОЧНЫЙ СТАН в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
стан, прокатный стан, предназначенный для прокатки блюмов или слитков в заготовки квадратного или круглого сечения с целью их последующей обработки …
ДРОБОВОЕ БУРЕНИЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
бурение, вид вращательного бурения с применением дроби в качестве истирающего материала. Предложено в США в 1899 для проходки скважин в …
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
число, вещественное число, любое положительное число, отрицательное число или нуль. Д. ч. разделяются на рациональные и иррациональные. Первые представимы как …
ГЕОМЕТРИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие …
ТОРМОЗ
РУЧНОЕ ОГНЕСТРЕЛЬНОЕ ОРУЖИЕ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
характеризуется тем, что требует для боевого употребления усилий только одного человека. Первообраз (XIII, XIV столетия) его — ручная бомбарда (bomba …
РОССИЯ. РУССКАЯ НАУКА: МАТЕМАТИКА в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
Эпоха письменных памятников застает в России употребление десятичной системы счисления в пределах 1—10000 (тьма) и дробей двоичной системы вместе с …
РАСТВОРЫ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
ПРИСТРЕЛКА ОХОТНИЧЬЕГО РУЖЬЯ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
имеет задачей как изучение боя его, так и определение границ кучности, резкости и дальности боя различными номерами дроби. Бой каждого …
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ ОРГАНОВ РАСТЕНИЙ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
МАТЕМАТИКА в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
Слово "математика" происходит от греческого?????? (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение словом …
КОСТИ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
твердые части, соединение которых составляет скелет или остов тела позвоночных и которые характеризуются большой твердостью, значительным содержанием минеральных веществ и …
ДРОБЬ ДЛЯ СТРЕЛЬБЫ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
ЦИФРОВОЕ в Большом российском энциклопедическом словаре:
ЦИФРОВ́ОЕ ТЕЛЕВИДЕНИЕ, система телевизионного вещания, в к-рой непрерывные во времени телевиз. сигналы при передаче преобразуются в дискретные и передаются …
ТОРМОЗ*
РУЧНОЕ ОГНЕСТРЕЛЬНОЕ ОРУЖИЕ *
? характеризуется тем, что требует для боевого употребления усилий только одного человека. Первообраз (XIII, XIV столетия) его? ручная бомбарда …
РАСТВОРЫ* в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона.
ПРИСТРЕЛКА ОХОТНИЧЬЕГО РУЖЬЯ в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
? имеет задачей как изучение боя его, так и определение границ кучности, резкости и дальности боя различными номерами дроби. Бой …
ПЕРЕДВИЖЕНИЕ ОРГАНОВ РАСТЕНИЙ* в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона.
МУКОМОЛЬНОЕ ПРОИЗВОДСТВО* в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона.
МАТЕМАТИКА в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
? Слово "математика" происходит от греческого?????? (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение …
КОСТИ в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
? твердые части, соединение которых составляет скелет или остов тела позвоночных и которые характеризуются большой твердостью, значительным содержанием минеральных веществ …
ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ: ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ в Словаре Кольера:
К статье ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Древний Египет. Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 …
ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ: ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО в Словаре Кольера:
К статье ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ Функции, используемые в элементарном анализе, задаются формулами. Их графики обычно можно начертить, не отрывая карандаш от …
ДЕРЕВО: ОСНОВНЫЕ ЧАСТИ ДЕРЕВА в Словаре Кольера:
К статье ДЕРЕВО Деревья, за исключением древовидных папоротников, - семенные растения, состоящие из корней, стебля, листьев и репродуктивных (половых) органов, …

ДРОБИНКА в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
дроби"нка, дроби"нки, дроби"нки, дроби"нок, дроби"нке, дроби"нкам, дроби"нку, дроби"нки, дроби"нкой, дроби"нкою, дроби"нками, дроби"нке, …
ДРОБИНА в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
дроби"на, дроби"ны, дроби"ны, дроби"н, дроби"не, дроби"нам, дроби"ну, дроби"ны, дроби"ной, дроби"ною, дроби"нами, дроби"не, …
ДРОБИЛЬЩИК в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
дроби"льщик, дроби"льщики, дроби"льщика, дроби"льщиков, дроби"льщику, дроби"льщикам, дроби"льщика, дроби"льщиков, дроби"льщиком, дроби"льщиками, дроби"льщике, …
ДРОБИЛЬНЫЙ в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
дроби"льный, дроби"льная, дроби"льное, дроби"льные, дроби"льного, дроби"льной, дроби"льного, дроби"льных, дроби"льному, дроби"льной, дроби"льному, дроби"льным, дроби"льный, дроби"льную, дроби"льное, дроби"льные, дроби"льного, дроби"льную, дроби"льное, дроби"льных, …
ДРОБИЛО в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
дроби"ло, дроби"ла, дроби"ла, дроби"л, дроби"лу, дроби"лам, дроби"ло, дроби"ла, дроби"лом, дроби"лами, дроби"ле, …
ДРОБИЛКА в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
дроби"лка, дроби"лки, дроби"лки, дроби"лок, дроби"лке, дроби"лкам, дроби"лку, дроби"лки, дроби"лкой, дроби"лкою, дроби"лками, дроби"лке, …
ДРОБЬ в Современном толковом словаре, БСЭ:
в арифметике - число составленное из целого числа долей единицы. Дробь выражается отношением двух целых чисел m/n, где n - …
НЕПРЕРЫВНЫЙ в Толковом словаре русского языка Ушакова:
непрерывная, непрерывное; непрерывен, непрерывна, непрерывно. 1. Не имеющий перерывов, промелсутков, тянущийся сплошным рядом, линией. Непрерывная цепь. Непрерывный ряд. Непрерывный поток. …

План:

1 Разложение в цепную дробь
2 Подходящие дроби
3 Приближение вещественных чисел рациональными
- 3.1 Примеры
4 Свойства и примеры
5 Приложения цепных дробей
- 5.1 Теория календаря
- 5.2 Решение сравнений первой степени
- 5.3 Другие приложения
  - 5.3.1 Свойства золотого сечения
6 Историческая справка
7 Мотивация

Введение

Цепная дробь (или непрерывная дробь ) - это математическое выражение вида

1. Разложение в цепную дробь

Любое вещественное число x может быть представлено (конечной или бесконечной) цепной дробью , где

где обозначает целую часть числа x .

Для рационального числа x это разложение оборвётся по достижении нулевого x n для некоторого n. В этом случае x представляется конечной цепной дробью .

Для иррационального x все величины x n будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае x представляется бесконечной цепной дробью .

Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.

2. Подходящие дроби

n -ой подходящей дробью для цепной дроби , называется конечная цепная дробь , значение которой равно некоторому рациональному числу . Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен x . Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен x .

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

Таким образом, величины p n и q n представляются значениями континуант:

Последовательности и являются возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением:

p n q n - 1 - q n p n - 1 = (- 1) n - 1 ,

(1)

которое можно переписать в виде

Откуда следует, что

3. Приближение вещественных чисел рациональными

Отсюда, в частности, следует:

3.1. Примеры

Разложим число π =3,14159265… в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Вторая дробь (22/7) - это известное архимедово приближение. Четвёртая (355/113) была впервые получена в Древнем Китае.

4. Свойства и примеры

Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:

Теорема Лагранжа : Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Например: золотое сечение e − 1 =

для числа

У числа пи простой закономерности не видно:

π =

Теорема Гаусса - Кузьмина: Почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел существует среднее геометрическое коэффициентов соответствующих им цепных дробей, и оно равно постоянной Хинчина.
Теорема Маршалла Холла. Если в разложении числа x в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие n , то говорят, что число x относится к классу F (n ). Любое вещественное число может быть представленно в виде суммы двух чисел из класса F (4) и в виде произведения двух чисел из класса F (4). В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представленно в виде суммы 3 чисел из класса F (3) и в виде суммы 4 чисел из класса F (2). Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено - для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно.

5. Приложения цепных дробей

5.1. Теория календаря

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском - за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.

5.2. Решение сравнений первой степени

Рассмотрим сравнение: , где известны, причём можно считать, что a взаимно просто с m . Надо найти x .

Разложим в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь . Подставим в формулу (1):

m q n − 1 − a p n − 1 = (− 1) n − 1

Отсюда вытекает:

, или:

Вывод: класс вычетов является решением исходного сравнения.

5.3. Другие приложения

5.3.1. Свойства золотого сечения

Интересный результат, которые следует из того факта, что выражение непрерывной дроби для φ не использует целых чисел больше чем 1, состоит в том, что φ является одним из самых "трудных" действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. Одна теорема (Теорема Гурвица) утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m /n при помощи

Тогда когда практически все действительные числа k имеют в конечно счёте бесконечно много приближений m /n , которые находятся на значительно меньшем расстояние от k , чем этот предел, приближения для φ (т.е. числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, и т.д.) последовательно "касаются границы", удерживая расстояние на почти точно расстоянии от φ, тем самым никогда не создавая приближения столь же внушительные как, к примеру, 355/113 для π. Может быть показано что любое действительное число формы (a + b φ)/(c + d φ) – где a , b , c иd являются целыми числами, такими как ad − bc = ±1 – имеют такое же свойство как и золотое сечение φ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

6. Историческая справка

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

7. Мотивация

Непрерывные дроби являются самыми "математически естественными" представлениями вещественных чисел.

Большинство людей знакомы с десятичным представлением вещественных чисел, которое может быть определено как

где a 0 может быть любым целым числом, а последующие a i являются одним из элементом {0,1,2,…,9}. В этом представление, число π, к примеру, может быть представлено как последовательность целых чисел .

Это десятичное представление имеет несколько проблем. Одна из них, многие рациональные числа не имеет конечного представления в этой системе. Например, число 1/3 представимо бесконечной последовательностью (0,3,3,3,3,…). Другая проблема заключается в том, что константа 10 является по сути произвольным выбором, который оказывает предпочтение числам, которые как-либо относятся к целому числу 10. Например, 137/1600 имеет конечное десятичное представление, тогда как 1/3 не имеет, не потому, что 137/1600 проще чем 1/3, а всего лишь потому, что 1600 делит степень 10 (10 6 = 1600 × 625). Запись как цепная дробь является представлением вещественных чисел, которая не имеет этих проблем.

Давайте рассмотрим как мы можем описать число, такое как 415/93, которое примерно равняется 4,4624. Это примерно 4.Вообще-то это чуть больше чем 4, около 4 + 1/2. Но 2 в знаменателе не совсем точно; там должно быть число чуть больше чем 2, примерно 2 + 1/6. Таким образом, 415/93 примерно равняется 4 + 1/(2 + 1/6). Но 6 в знаменателе не верно; настоящее значение чуть больше 6, 6+1/7. Таким образом, 415/93 является 4+1/(2+1/(6+1/7). Это точное значение.

Опуская некоторые обязательные части в выражении 4 + 1 / (2 + 1 / (6 + 1 / 7)) мы получим краткую нотацию . (Заметьте, что общепринято заменять только первую запятую точкой с запятой).

Представление как непрерывная дробь вещественного числа может быть определена таким образом. Она имеет несколько желательных свойств:

Представление как непрерывная дробь конечно тогда и только тогда когда число является рациональным.

Каждое рациональное число имеет по-существу единственное представление как непрерывная дробь. Каждое рациональное число можно представить в точности двумя способами, т.к. [a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n ] = [a 0 ; a 1 , … a n − 1 , a n − 1, 1]. Математики предпочитают иметь взаимно-однозначное соответствие между рациональными числами и цепными дробями; первая, более короткая нотация выбрана в качество каноническое представления.

Представление как непрерывная дробь иррационального числа единственно.

Цепная дробь является периодической тогда и только тогда, когда число является квадратичной иррациональностью, т.е. имеет форму

для целых a , b , c , d ; где b и d не ноль и c >1 и c не является точным квадратом.

К примеру, периодическая непрерывная дробь является золотым сечением, а периодическая непрерывная дробь является квадратным корнем из 2.

Раннее усечение представления числа x в виде цепной дроби приводит к рациональному приближению x, которая в определенном смысле является "наилучшим" рациональным приближением.

Последнее свойство чрезвычайно важно. У десятичного представления числа его нет. Усечение десятичного представления числа приводит к рациональному приближению числа, но обычно к не очень хорошему приближению. К примеру, усечение 1/7 = 0.142857… в разных местах приводит к приближениям таким как 142/1000, 14/100 и 1/10. Но очевидно лучшим рациональным приближением будет само число "1/7". Обрывая десятичное представление π мы получаем приближения такие как 31415/10000 и 314/100. Цепная дробь π начинается . Усекая это представление мы получаем отличные рациональные приближение 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …. Знаменатели 314/100 и 333/106 почти одинаковые, но ошибка в приближении 314/100 в девятнадцать раз больше ошибки, чем в приближении 333/106. Как приближении π, более чем в сто раз точнее приближения 3,1416.

, Дробь , Дробь (математика) , Правильная дробь .

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ. Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби.

Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4,..., n /(n + 1),... порождает непрерывную дробь

Их можно построить по простому правилу из последовательности неполных частных 1, 1/2, 2/3, 3/4,.... Прежде всего выпишем первую и вторую подходящие дроби 1/1 и 3/2. Третья подходящая дробь равна (2Ч 1 + 3Ч 3)/(2Ч 1 + 3Ч 2) или 11/8, ее числитель равен сумме произведений числителей первой и второй подходящих дробей, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного, а знаменатель равен сумме произведений знаменателей первого и второго неполных частных, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного. Четвертая подходящая дробь получается аналогично из четвертого неполного частного 3/4 и второй и третьей подходящих дробей: (3Ч 3 + 4Ч 11)/(3Ч 2 + 4Ч 8) или 53/38. Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Запишем их в виде десятичных дробей (с шестью знаками после запятой): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Значением нашей непрерывной дроби будет число x , первые цифры которого 1,3922. Подходящие дроби являются лучшим приближением числа x . Причем они поочередно оказываются то меньше, то больше числа x (нечетные – больше x , а четные – меньше).

Чтобы представить отношение двух положительных целых чисел в виде конечной непрерывной дроби, нужно воспользоваться методом нахождения наибольшего общего делителя. Например, возьмем отношение 50/11. Так как 50 = 4Ч 11 + 6 или 11/50 = 1/(4 + 6/11), и, аналогично, 6/11 = 1/(1 + 5/6) или 5/6 = 1/(1 + 1/5), получаем:

Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Предположим, что x – иррациональное число (т.е. непредставимо в виде отношения двух целых чисел). Тогда, если n 0 – наибольшее целое число, которое меньше x , то x = n 0 + (x – n 0), где x – n 0 – положительное число меньше 1, поэтому обратное ему число x 1 больше 1 и x = n 0 + 1/x 1 . Если n 1 – наибольшее целое число, которое меньше x 1 , то x 1 = n 1 + (x 1 – n 1), где x 1 – n 1 – положительное число, которое меньше 1, поэтому обратное ему число x 2 больше 1, и x 1 = n 1 + 1/x 2 . Если n 2 – наибольшее целое число, которое меньше x 2 , то x 2 = n 2 + 1/x 3 , где x 3 больше 1, и т.д. В результате мы шаг за шагом находим последовательность неполных частных n 0 , 1/n 1 , 1/n 2 ,... непрерывной дроби, являющихся приближениями x .

Поясним сказанное на примере. Предположим, что , тогда

Первые 6 подходящих дробей равны 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записанные в виде десятичных дробей они дают следующие приближенные значения : 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Непрерывная дробь для имеет неполные частные 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1,.... Иррациональное число является корнем квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами в том и только в том случае, если неполные частные его разложения в непрерывную дробь периодичны.

Непрерывные дроби тесно связны со многими разделами математики, например с теорией функций, расходящимися рядами, проблемой моментов, дифференциальными уравнениями и бесконечными матрицами. Если x – радианная мера острого угла, то тангенс угла x x /1, - x 2 /3, - x 2 /7, - x 2 /9, ..., а если x – положительное число, то натуральный логарифм от 1 + x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x /1, 1 2 x /2, 1 2 x /3, 2 2 x /4, 2 2 x /5, 3 2 x /6,... . Формальным решением дифференциального уравнения x 2 dy /dx + y = 1 + x в виде степенного ряда является расходящийся степенной ряд 1 + x – 1!x 2 + 2!x 3 – 3!x 4 +.... Этот степенной ряд можно преобразовать в непрерывную дробь с неполными частными 1, x /1, x /1, 2x /1, 2x /1, 3x /1, 3x /1,..., а ее в свою очередь использовать для получения решения дифференциального уравнения x 2 dy /dx + y = 1 + x .