درس الدرس قرار المهمة 23 من امتحان علوم الحاسب: شرح وتحليل مفصل لمهمة 2017
المهمة الثالثة والعشرون - "تحويل التعبيرات المنطقية" - تتميز بأنها مهمة ذات مستوى عالٍ من التعقيد ، ووقت التنفيذ حوالي 10 دقائق ، والحد الأقصى هو 1
عناصر جبر المنطق: تحولات التعبيرات المنطقية
لإكمال المهمة 23 من الاختبار ، من الضروري تكرار الموضوعات والمفاهيم التالية:
- ضع في اعتبارك موضوعًا.
- ضع في اعتبارك موضوعًا.
هناك 23 نوعًا مختلفًا من المهام وحلها من البسيط إلى المعقد:
1. معادلة واحدة مع معاملات غير متقاطعة للعملية الخارجية وحل واحد:
2. معادلة واحدة مع معاملات غير متقاطعة للعملية الخارجية وعدة حلول
3. معادلة واحدة مع معاملات متقاطعة للعملية الخارجية
4. عدة معادلات: طريقة لعرض حلول المعادلة
يمكن استخدام طريقة العرض:
5. معادلات متعددة: استخدام Bitmasks
Bitmask (bitmask) طريقة يمكن استخدامها:
حل 23 مهمة استخدام في علوم الكمبيوتر
تحليل المهام الـ 23 لامتحان الدولة الموحد في المعلوماتية 2017 FIPI الخيار 1 (Krylov SS ، Churkina T.E.):
كم عدد المجموعات المختلفة من القيم المنطقية الموجودة x1, x2, … x6, ذ 1, y2, … ذ 6
(¬ (x1 ∨ y1)) ≡ (x2 ∨ y2)
(¬ (x2 ∨ y2)) ≡ (x3 ∨ y3)
…
(¬ (x5 ∨ y5)) ≡ (x6 ∨ y6)
* توجد مهمة مماثلة في مجموعة "خيارات الفحص النموذجية" ، Krylov SS ، Churkina T.E. 2019 الإصدار 7.
¬a ≡ b ¬b ≡ c c ≡ d ¬d ≡ e ¬e ≡ f a ≠ b b ≠ c c ≠ d d ≠ e e ≠ f
| x1 | x2 | F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
نتيجة: 54
للحصول على شرح مفصل لهذه المهمة ، شاهد الفيديو:
23_2: تحليل المهام الـ 23 لامتحان الدولة الموحد في المعلوماتية 2017 FIPI الخيار 3 (Krylov SS، Churkina T.E.):
كم عدد المجموعات المختلفة من القيم المنطقية الموجودة x1, x2, … x9, ذ 1, y2, … y9تستوفي جميع الشروط التالية؟
(¬ (x1 ∧ y1)) ≡ (x2 ∧ y2)
(¬ (x2 ∧ y2)) ≡ (x3 ∧ y3)
…
(¬ (x8 ∧ y8)) ≡ (x9 ∧ y9)
* توجد مهمة مماثلة في مجموعة "خيارات الفحص النموذجية" ، Krylov SS ، Churkina T.E. 2019 الإصدار 9.
الحل (باستخدام طريقة القناع النقطي):
- نظرًا لأن الإجراءات الموجودة بين قوسين هي نفسها ، والمتغيرات متكررة ، فإننا نقدم الترميز:
| x1 | x2 | F |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
هذا يعني أنه لشرط واحد لا يمكن أن يكون هناك مثل هذه الحالة أ = 0و ب = 0أو أ = 1و ب = 1.
نتيجة: 324
نحن نقدم لنرى فيديو مع حل هذه المهمة 23:
23_3: تحليل المهام الـ 23 لامتحان الدولة الموحد في المعلوماتية 2017 FIPI الخيار 5 (Krylov SS، Churkina T.E.):
كم عدد المجموعات المختلفة من القيم المنطقية الموجودة x1, x2, … x8, ذ 1, y2, … ذ 8تستوفي جميع الشروط التالية؟
¬ (((x1 ∧ y1) ≡ (x3 ∧ y3)) → (x2 ∧ y2))
¬ (((x2 ∧ y2) ≡ (x4 ∧ y4)) → ¬ (x3 ∧ y3))
¬ (((x3 ∧ y3) ≡ (x5 ∧ y5)) → (x4 ∧ y4))
¬ (((x4 ∧ y4) ≡ (x6 ∧ y6)) → ¬ (x5 ∧ y5))
¬ (((x5 ∧ y5) ≡ (x7 ∧ y7)) → (x6 ∧ y6))
¬ (((x6 ∧ y6) ≡ (x8 ∧ y8)) → ¬ (x7 ∧ y7))
كإجابة ، تحتاج إلى تحديد عدد هذه المجموعات.
* توجد مهمة مماثلة في مجموعة "خيارات الفحص النموذجية" ، Krylov S.S. ، Churkina T.E. ، 2019 ، الخيار 11.
الحل باستخدام طريقة القناع النقطي:
- نظرًا لأن الأقواس هي نفس الإجراءات ، والأقواس متكررة في معادلات مختلفة ، فإننا نقدم الترميز. لنقم بتعيين أقواس ذات متغيرات في الأحرف اللاتينية بترتيب أبجدي وفقًا لأرقامها:
- دعنا نتخلص من المعنى: كانت: ¬ ((أ ≡ ج) → ب)أصبح: ¬ (¬ (أ ≡ ج) ∨ ب)
- وفقًا لقانون De Morgan ، نتخلص من النفي على القوس الخارجي المشترك: كانت: ¬ (¬ (أ ≡ ج) ∨ ب)أصبح: (أ ≡ ج) ∧ ب
هذا يعني أن جميع المعاملات بعد أداة العطف يجب أن تكون صحيحة.
نتيجة: 81
23_4: تحليل 23 مهمة من مهام الاستخدام في النسخة التجريبية للمعلوماتية لعام 2018 FIPI:
كم عدد المجموعات المختلفة من القيم المنطقية الموجودة x1, x2, … x7, ذ 1, y2, … y7تستوفي جميع الشروط التالية؟
(¬x1 ∨ y1) → (¬x2 ∧ y2) = 1
(¬x2 ∨ y2) → (¬x3 ∧ y3) = 1
…
(¬x6 ∨ y6) → (¬x7 ∧ y7) = 1
الحل وطريقة العرض المستخدمة:
- العملية الخارجية في معادلة واحدة هي ضمني ، يجب أن تكون نتيجتها صحيحة. يكون التضمين صحيحًا إذا:
0 -> 0 0 -> 1 1 -> 1
أولئك. خطأ فقط عندما 1 -> 0
نتيجة: 22
تحليل بالفيديو لمهام النسخة التجريبية 2018 23 ، انظر هنا:
23_5: الحل 23 من مهمة الاستخدام في المعلوماتية 2018 (خيار التشخيص ، SS Krylov ، DM Ushakov ، USE simulator 2018):
كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة:
(أ → ب) ∨ (ج → ¬ د) ∨ ¬ (ه ∨ أ ∨ ج) = 1
أين أ ، ب ، ج ، د ، هـ- المتغيرات المنطقية؟
كإجابة ، حدد عدد هذه المجموعات.
✍ الحل:
- عملية منطقية خارجية - ∨ - الانفصال. جدول الحقيقة:
نتيجة: 30
23_6: تحليل 23 مهمة من النسخة التجريبية لامتحان المعلوماتية 2019:
كم عدد المجموعات المختلفة من القيم المنطقية الموجودة x1 ، x2 ، ... x7 ، y1 ، y2 ، ... y7تستوفي جميع الشروط التالية؟
(y1 → (y2 ∧ x1)) ∧ (x1 → x2) = 1 (y2 → (y3 ∧ x2)) ∧ (x2 → x3) = 1… (y6 → (y7 ∧ x6)) ∧ (x6 → x7) = 1 y7 → x7 = 1
كرد لا حاجةضع قائمة بجميع مجموعات القيم المختلفة للمتغيرات x1 ، x2 ، ... x7 ، y1 ، y2 ، ... y7 ، والتي بموجبها يتم استيفاء نظام المساواة المعطى.
كإجابة ، تحتاج إلى تحديد عدد هذه المجموعات.
✍ الحل:
- نظرًا لأن جميع المساواة من نفس النوع (باستثناء الأخير) ، فهي تختلف فقط في إزاحة أعداد المتغيرات بمقدار واحد ، ثم سنستخدم طريقة التعيين للحل: عندما ، بعد العثور على نتيجة المساواة الأولى ، من الضروري تطبيق نفس المبدأ مع المساواة اللاحقة ، مع مراعاة النتائج التي تم الحصول عليها لكل منها.
- النظر في المساواة الأولى. في ذلك ، تكون العملية الخارجية عبارة عن اقتران ، يجب أن تكون نتيجتها صحيحة. يكون الاقتران صحيحًا إذا:
نتيجة: 36
حل الفيديو لـ 23 مهمة من النسخة التجريبية من امتحان 2019:
23_7: تحليل 23 مهمة من امتحان الدولة الموحد في المعلوماتية "خيارات الفحص النموذجية" ، Krylov SS ، Churkina T.E. ، 2019 ، الخيار 16 (FIPI):
كم عدد المجموعات المختلفة من القيم المنطقية الموجودة x1, x2, … x6, ذ 1, y2, … ذ 6تستوفي جميع الشروط التالية؟
¬ (((x1 ∧ y1)) ≡ (x2 ∧ y2)) → (x3 ∧ y3))
¬ (((x2 ∧ y2)) ∨ ¬ (x3 ∧ y3)) → (x4 ∧ y4))
¬ (((x3 ∧ y3)) ≡ (x4 ∧ y4)) → (x5 ∧ y5))
¬ (((x4 ∧ y4)) ∨ ¬ (x5 ∧ y5)) → (x6 ∧ y6))
كإجابة ، تحتاج إلى تحديد عدد هذه المجموعات.
✍ الحل:
- نظرًا لأن نفس العملية موجودة في كل مكان بين قوسين صغير ( ∧ ) ، ولا تتقاطع المتغيرات الموجودة بين قوسين ، ثم يمكنك إجراء الاستبدال:
إجابه: 810
يتوفر تحليل فيديو للمهمة 23:
23_8: تحليل 23 مهمة من مهام امتحان الدولة الموحد في المعلوماتية "خيارات الفحص النموذجية" ، Krylov SS ، Churkina T.E. ، 2019 ، الخيار 2 (FIPI):
كم عدد المجموعات المختلفة من القيم المنطقية الموجودة x1, x2, … x12تستوفي جميع الشروط التالية؟
¬ (x1 ≡ x2) → (x3 ∧ x4) = 0
¬ (x3 ≡ x4) → (x5 ∧ x6) = 0
¬ (x5 ≡ x6) → (x7 ∧ x8) = 0
¬ (x7 ≡ x8) → (x9 ∧ x10) = 0
¬ (x9 ≡ x10) → (x11 ∧ x12) = 0
(x1 ≡ x4) ∨ (x5 ≡ x8) ∨ (x2 ≡ x12) = 1
كإجابة ، تحتاج إلى تحديد عدد هذه المجموعات.
✍ الحل:
x1 x2 x4 x5 x8 x12 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0
نوسكين أندري نيكولايفيتش ،
مدرس تكنولوجيا المعلومات
أعلى فئة مؤهلة ،
مرشح العلوم العسكرية ، أستاذ مشارك
GBOU Lyceum №1575 موسكو
طريقة رسم الخرائط الأمثل لحل المشكلة 23 من KIM USE في المعلوماتية وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات
إحدى أصعب المهام في KIM USE هي المهمة 23 ، حيث تحتاج إلى العثور على عدد المجموعات المختلفة من قيم المتغيرات المنطقية التي تفي بالشرط المحدد.
ربما تكون هذه المهمة هي أصعب مهمة لـ KIM USE في المعلوماتية وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات. كقاعدة عامة ، لا يتأقلم معها أكثر من 5٪ من الممتحنين (1).
يتم شرح هذه النسبة الصغيرة من الطلاب الذين أكملوا هذه المهمة من خلال ما يلي:
- يمكن للطلاب الخلط بين (نسيان) علامات العمليات المنطقية ؛
- أخطاء رياضية في عملية إجراء الحسابات ؛
- أخطاء في التفكير عند البحث عن حل ؛
- أخطاء في عملية تبسيط التعبيرات المنطقية ؛
- يوصي المعلمون بحل هذه المشكلة بعد الانتهاء من كل العمل ، حيث من المحتمل عمل افتراض
الأخطاء عالية جدًا ، و "وزن" المهمة ليس سوى نتيجة أولية واحدة.
بالإضافة إلى ذلك ، يجد بعض المعلمين أنفسهم صعوبة في حل هذا النوع من المشكلات ، وبالتالي يحاولون حل المشكلات الأبسط مع الأطفال.
كما أنه يعقد الموقف المتمثل في وجود عدد كبير من المهام المختلفة في هذه المجموعة ومن المستحيل اختيار نوع من حل القالب.
لتصحيح هذا الموقف ، يقوم المجتمع التربوي بوضع اللمسات الأخيرة على الطريقتين الرئيسيتين لحل مشاكل من هذا النوع: الحل باستخدام سلاسل البت (2) وطريقة رسم الخرائط (3).
ترجع الحاجة إلى تحسين (تحسين) هذه الأساليب إلى حقيقة أن المهام تتغير باستمرار في كل من الهيكل وعدد المتغيرات (نوع واحد فقط من المتغيرات X ، نوعان من المتغيرات X و Y ، ثلاثة أنواع: X ، Y ، ض).
تم تأكيد تعقيد إتقان هذه الأساليب لحل المشكلات من خلال حقيقة أنه على موقع الويب الخاص بـ K.Yu. بولياكوف ، هناك تحليل لهذا النوع من المشاكل في كمية 38 قطعة (4). في بعض التحليلات ، يتم تقديم أكثر من نوع واحد من حل المشكلات.
في الآونة الأخيرة ، في KIM USE في علوم الكمبيوتر ، هناك مشاكل مع نوعين من المتغيرات X و Y.
لقد قمت بتحسين طريقة العرض واقترح أن يستخدم طلابي الطريقة المحسنة.
هذا يعطي نتيجة. تختلف النسبة المئوية لطلابي الذين أكملوا هذه المهمة بنسبة تصل إلى 43٪ من المارة. كقاعدة عامة ، يجتاز 25 إلى 33 شخصًا من جميع الصفوف الحادي عشر امتحان علوم الكمبيوتر كل عام.
قبل ظهور المهام بنوعين من المتغيرات ، استخدم الطلاب طريقة العرض بنجاح كبير ، ولكن بعد الظهور في التعبير المنطقي Y ، بدأت ألاحظ أن إجابات الأطفال لم تعد تتزامن مع الاختبارات. اتضح أنهم لم يفهموا بوضوح كيفية إنشاء جدول تعيين بنوع جديد من المتغيرات. ثم خطرت لي فكرة أنه من أجل الراحة ، من الضروري إحضار التعبير بأكمله إلى نوع واحد من المتغيرات ، لأنه مناسب للأطفال.
اسمحوا لي أن أصف هذه الطريقة بمزيد من التفصيل. للراحة ، سأفكر في ذلك باستخدام مثال نظام التعبيرات المنطقية الواردة في (4).
كم عدد الحلول المختلفة التي يمتلكها نظام المعادلات المنطقية
(× 1 ^ ذ 1)=(¬x 2 الخامس ¬
ذ 2
)
(x2 ^ ذ 2)= (¬
x 3
الخامس ¬
ذ 3
)
...
(x5 ^ ص 5)
= (¬
x 6
الخامس ¬
ذ 6
)
المحلول:
1. من تحليل نظام المعادلات المنطقية ، نرى أن هناك 6 متغيرات Xو 6 متغيرات في. نظرًا لأن أيًا من هذه المتغيرات يمكن أن يأخذ قيمتين فقط (0 و 1) ، فسوف نستبدل هذه المتغيرات بـ 12 متغيرًا من نفس النوع ، على سبيل المثال Z.
2. الآن دعونا نعيد كتابة النظام بمتغيرات جديدة من نفس النوع. يكمن تعقيد المهمة في التدوين الدقيق عند تغيير المتغيرات.
(z1 ^ ض 2)=
(¬z 3الخامس¬
ض 4
)
(z3 ^ ض 4)=
(¬
ض 5
الخامس¬
ض 6
)
...
(z9 ^ ض 10)
=
(¬
ض 11
الخامس¬
ض 12)
3. لنقم ببناء جدول نقوم فيه بفرز جميع الخيارات ض 1 , ض 2 , ض 3 , ض 4 نظرًا لوجود أربعة متغيرات في المعادلة المنطقية الأولى ، سيكون للجدول 16 صفًا (16 = 2 4) ؛ إزالة هذه القيم من الجدول ض 4 ، والتي ليس للمعادلة الأولى حل لها (أرقام مشطوبة).
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 1 |
4. بتحليل الجدول ، نبني قاعدة لعرض أزواج من المتغيرات (على سبيل المثال ، زوج ض 1 ض 2 = 00 تطابقزوج ض 3 ض 4 = 11) .
5. قم بملء الجدول بحساب عدد أزواج المتغيرات التي يوجد للنظام حل لها. 
6. اجمع جميع النتائج: 9 + 9 + 9 + 27 = 54
7. الجواب: 54.
الطريقة المثلى أعلاه لحل المشكلة 23 من KIM USE سمحت للطلاب باستعادة الثقة وحل هذا النوع من المشاكل بنجاح.
المؤلفات:
1. FIPI. توصيات منهجية للمعلمين ، تم إعدادها على أساس تحليل الأخطاء النموذجية للمشاركين في عام 2015 استخدام المعلومات وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات. وضع الوصول: http://www.fipi.ru/sites/default/files/document/1442163533/informatika_i_ikt.pdf
2. K.Yu. بولياكوف ، م. رويتبرج.أنظمة المعادلات المنطقية: الحل باستخدام سلاسل البت. مجلة المعلوماتية ، العدد 12 ، 2014 ، ص. 4-12.دار النشر "الأول من سبتمبر" موسكو.3. E.A. ميرونشيك ، طريقة العرض.مجلة المعلوماتية ، العدد 10 ، 2013 ، ص. 18-26. دار النشر "الأول من سبتمبر" موسكو.
حل أنظمة المعادلات المنطقية عن طريق تغيير المتغيرات
يتم استخدام طريقة تغيير المتغيرات إذا تم تضمين بعض المتغيرات في المعادلات فقط في شكل تعبير محدد ، ولا شيء غير ذلك. ثم يمكن الإشارة إلى هذا التعبير بواسطة متغير جديد.
مثال 1
كم عدد مجموعات القيم المختلفة للمتغيرات المنطقية x1 ، x2 ، x3 ، x4 ، x5 ، x6 ، x7 ، x8 الموجودة والتي تفي بجميع الشروط التالية؟
(x1 → x2) → (x3 → x4) = 1
(x3 → x4) → (x5 → x6) = 1
(x5 → x6) → (x7 → x8) = 1
لا تحتاج الإجابة إلى سرد جميع مجموعات القيم المختلفة للمتغيرات x1 ، x2 ، x3 ، x4 ، x5 ، x6 ، x7 ، x8 ، والتي بموجبها يتم استيفاء نظام المساواة هذا. كإجابة ، تحتاج إلى تحديد عدد هذه المجموعات.
المحلول:
(x1 → x2) = y1 ؛ (x3 → x4) = y2 ؛ (x5 → x6) = y3 ؛ (x7 → x8) = y4.
ثم يمكن كتابة النظام كمعادلة واحدة:
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. يكون الارتباط 1 (صحيح) عندما يتم تقييم كل معامل إلى 1. أي ، يجب أن يكون كل من الدلالات صحيحًا ، وهذا صحيح بالنسبة لجميع القيم باستثناء (1 → 0). أولئك. في جدول قيم المتغيرات y1 و y2 و y3 و y4 ، يجب ألا تكون الوحدة على يسار الصفر:
أولئك. يتم استيفاء الشروط لـ 5 مجموعات من y1 إلى y4.
لان y1 = x1 → x2 ، ثم يتم تحقيق القيمة y1 = 0 على مجموعة واحدة x1 ، x2: (1 ، 0) ، ويتم تحقيق القيمة y1 = 1 على ثلاث مجموعات x1 ، x2: (0،0) ، ( 0،1) ، (1.1). وبالمثل بالنسبة لـ y2 و y3 و y4.
نظرًا لأن كل مجموعة (x1 ، x2) للمتغير y1 يتم دمجها مع كل مجموعة (x3 ، x4) لمتغير y2 ، وهكذا ، يتم ضرب عدد مجموعات المتغيرات x:
|
عدد المجموعات لكل x1… x8 |
||||
لنجمع عدد المجموعات: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.
إجابه: 121
مثال 2
كم عدد مجموعات القيم المختلفة للمتغيرات المنطقية x1 ، x2 ، ... x9 ، y1 ، y2 ، ... y9 هناك والتي تفي بجميع الشروط التالية؟
(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)
(¬ (x2 ≡ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)
(¬ (x8 ≡ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)
كرد لا حاجةضع قائمة بجميع مجموعات القيم المختلفة للمتغيرات x1 ، x2 ، ... x9 ، y1 ، y2 ، ... y9 ، والتي بموجبها يتم استيفاء نظام المساواة المعطى. كإجابة ، تحتاج إلى تحديد عدد هذه المجموعات.
المحلول:
لنقم بتغيير المتغيرات:
(x1 ≡ y1) = z1، (x2 ≡ y2) = z2،…. ، (x9 ≡ y9) = z9
يمكن كتابة النظام كمعادلة واحدة:
(¬z1 ≡ z2) ∧ (¬z2 ≡ z3) ∧… ..∧ (¬z8 ≡ z9)
التكافؤ صحيح فقط إذا كان كلا المعاملين متساويين. ستكون حلول هذه المعادلة مجموعتين:
| z1 | z2 | z3 | z4 | z5 | z6 | z7 | z8 | z9 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
لان zi = (xi ≡ yi) ، ثم القيمة zi = 0 تقابل مجموعتين (xi، yi): (0،1) و (1،0) ، والقيمة zi = 1 تقابل مجموعتين (xi، yi ): (0 ، 0) و (1،1).
ثم المجموعة الأولى z1، z2،…، z9 تقابل 2 9 مجموعات (x1، y1)، (x2، y2)،…، (x9، y9).
نفس الرقم يتوافق مع المجموعة الثانية z1 ، z2 ، ... ، z9. ثم هناك 2 9 +2 9 = 1024 مجموعة في المجموع.
إجابه: 1024
حل أنظمة المعادلات المنطقية عن طريق التعريف المرئي للعودية.
تُستخدم هذه الطريقة إذا كان نظام المعادلات بسيطًا بدرجة كافية وكان ترتيب زيادة عدد المجموعات عند إضافة المتغيرات واضحًا.
مثال 3
كم عدد الحلول المختلفة التي يمتلكها نظام المعادلات
¬x9 ∨ x10 = 1 ،
أين x1، x2، ... x10 متغيرات منطقية؟
لا تحتاج الإجابة إلى تعداد جميع مجموعات القيم المختلفة x1 ، x2 ، ... x10 التي ينطبق عليها نظام المساواة المعطى. كإجابة ، تحتاج إلى تحديد عدد هذه المجموعات.
المحلول:
لنحل المعادلة الأولى. يساوي الانفصال 1 إذا كان أحد معاملاته على الأقل يساوي 1. أي ، الحلول هي المجموعات:
بالنسبة إلى x1 = 0 ، توجد قيمتان x2 (0 و 1) ، وبالنسبة إلى x1 = 1 ، توجد قيمة x2 واحدة فقط (1) ، بحيث تكون المجموعة (x1، x2) هي حل المعادلة. 3 مجموعات فقط.
دعونا نضيف المتغير x3 ونفكر في المعادلة الثانية. إنه مشابه للقيمة الأولى ، مما يعني أنه بالنسبة إلى x2 = 0 ، توجد قيمتان لـ x3 (0 و 1) ، وبالنسبة إلى x2 = 1 ، توجد قيمة واحدة فقط لـ x3 (1) ، بحيث تكون المجموعة ( x2، x3) حل المعادلة. هناك 4 مجموعات في المجموع.
من السهل ملاحظة أنه عند إضافة متغير آخر ، تتم إضافة مجموعة واحدة. أولئك. صيغة متكررة لعدد المجموعات على متغيرات (i + 1):
N i +1 = N i + 1. ثم بالنسبة لعشرة متغيرات نحصل على 11 مجموعة.
إجابه: 11
حل أنظمة المعادلات المنطقية بأنواعها المختلفة
مثال 4
كم عدد مجموعات قيم المتغيرات المنطقية x 1، ...، x 4، y 1، ...، y 4، z 1، ...، z 4 التي تفي بجميع الشروط التالية؟
(x 1 → x 2) ∧ (x 2 → x 3) ∧ (x 3 → x 4) = 1
(y 1 → y 2) ∧ (y 2 → y 3) ∧ (y 3 → y 4) = 1
(z 1 → z 2) ∧ (z 2 → z 3) ∧ (z 3 → z 4) = 1
س ٤ ∧ ص ٤ ع ٤ = ٠
كرد لا حاجةضع قائمة بجميع مجموعات القيم المختلفة للمتغيرات x 1، ...، x 4، y 1، ...، y 4، z 1، ...، z 4 ، والتي بموجبها يتم استيفاء نظام المساواة المعطى .
كإجابة ، تحتاج إلى تحديد عدد هذه المجموعات.
المحلول:
لاحظ أن المعادلات الثلاث للنظام هي نفسها في مجموعات مختلفة من المتغيرات المستقلة.
تأمل المعادلة الأولى. يكون العطف صحيحًا (يساوي 1) فقط إذا كانت جميع معاملاته صحيحة (تساوي 1). المعنى الضمني هو 1 في كل المجموعات باستثناء (1،0). هذا يعني أن حل المعادلة الأولى سيكون مثل هذه المجموعات x1 ، x2 ، x3 ، x4 ، حيث 1 ليس على يسار 0 (5 مجموعات):
وبالمثل ، فإن حلول المعادلتين الثانية والثالثة ستكون بالضبط نفس مجموعات y1 ، ... ، y4 و z1 ، ... ، z4.
لنحلل الآن المعادلة الرابعة للنظام: x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0. سيكون الحل هو جميع المجموعات x4 و y4 و z4 التي يكون فيها أحد المتغيرات على الأقل يساوي 0.
أولئك. بالنسبة إلى x4 = 0 ، تكون جميع المجموعات الممكنة (y4، z4) مناسبة ، وبالنسبة إلى x4 = 1 ، تكون المجموعات (y4، z4) التي تحتوي على صفر واحد على الأقل مناسبة: (0 ، 0) ، (0،1) ، ( 1 ، 0).
|
عدد المجموعات |
||||
إجمالي عدد المجموعات هو 25 + 4 * 9 = 25 + 36 = 61.
إجابه: 61
حل أنظمة المعادلات المنطقية من خلال بناء الصيغ المتكررة
تُستخدم طريقة إنشاء الصيغ المتكررة لحل الأنظمة المعقدة التي لا يكون فيها ترتيب زيادة عدد المجموعات واضحًا ، ويكون بناء شجرة مستحيلًا بسبب الأحجام.
مثال 5
كم عدد مجموعات القيم المختلفة للمتغيرات المنطقية x1 ، x2 ، ... x7 ، y1 ، y2 ، ... y7 التي تفي بجميع الشروط التالية؟
(x1 ∨ y1) ∧ ((x2 ∧ y2) → (x1 ∧ y1)) = 1
(x2 ∨ y2) ∧ ((x3 ∧ y3) → (x2 ∧ y2)) = 1
(x6 ∨ y6) ∧ ((x7 ∧ y7) → (x6 ∧ y6)) = 1
لا تحتاج الإجابة إلى سرد جميع مجموعات القيم المختلفة للمتغيرات x1 ، x2 ، ... ، x7 ، y1 ، y2 ، ... ، y7 ، والتي بموجبها يظل نظام المساواة المعطى ثابتًا. كإجابة ، تحتاج إلى تحديد عدد هذه المجموعات.
المحلول:
لاحظ أن المعادلات الست الأولى للنظام هي نفسها وتختلف فقط في مجموعة المتغيرات. تأمل المعادلة الأولى. سيكون حلها هو مجموعات المتغيرات التالية:
دل:
عدد المجموعات (0،0) على المتغيرات (x1 ، y1) حتى A 1 ،
عدد المجموعات (0،1) على المتغيرات (x1 ، y1) حتى B 1 ،
عدد المجموعات (1،0) على المتغيرات (x1 ، y1) عبر C 1 ،
عدد المجموعات (1،1) على المتغيرات (x1، y1) عبر D 1.
عدد المجموعات (0،0) على المتغيرات (x2 ، y2) حتى A 2 ،
عدد المجموعات (0،1) على المتغيرات (x2 ، y2) عبر B 2 ،
عدد المجموعات (1،0) على المتغيرات (x2 ، y2) عبر C 2 ،
عدد المجموعات (1،1) على المتغيرات (x2، y2) عبر D 2.
من شجرة القرار ، نرى ذلك
أ 1 = 0 ، ب 1 = 1 ، ج 1 = 1 ، د 1 = 1.
لاحظ أن المجموعة (0،0) في المتغيرات (x2، y2) يتم الحصول عليها من المجموعات (0،1) و (1،0) و (1،1) في المتغيرات (x1، y1). أولئك. أ 2 \ u003d ب 1 + ج 1 + د 1.
يتم الحصول على المجموعة (0،1) الخاصة بالمتغيرات (x2، y2) من المجموعات (0،1) و (1،0) و (1،1) على المتغيرات (x1، y1). أولئك. ب 2 \ u003d ب 1 + ج 1 + د 1.
بالمثل ، نلاحظ أن C 2 \ u003d B 1 + C 1 + D 1. D2 = D1.
وبالتالي ، نحصل على صيغ متكررة:
أ i + 1 = B i + C i + D i
B i + 1 = B i + C i + D i
C i + 1 = B i + C i + D i
د i + 1 = A i + B i + C i + D i
دعونا نصنع طاولة
| مجموعات | رمز. | معادلة |
عدد المجموعات |
||||||
| أنا = 1 | أنا = 2 | أنا = 3 | أنا = 4 | أنا = 5 | أنا = 6 | أنا = 7 | |||
| (0,0) | عاي | Ai + 1 = Bi + Ci + Di | 0 | 3 | 7 | 15 | 31 | 63 | 127 |
| (0,1) | ب ط | B i + 1 = B i + C i + D i | 1 | 3 | 7 | 15 | 31 | 63 | 127 |
| (1,0) | ج ط | C i + 1 = B i + C i + D i | 1 | 3 | 7 | 15 | 31 | 63 | 127 |
| (1,1) | د ط | د ط + 1 = د ط | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
المعادلة الأخيرة (x7 ∨ y7) = 1 تتحقق من جميع المجموعات باستثناء تلك التي فيها x7 = 0 و y7 = 0. في جدولنا ، عدد هذه المجموعات هو A 7.
إذن ، إجمالي عدد المجموعات هو B 7 + C 7 + D 7 = 127 + 127 + 1 = 255
إجابه: 255
